作者Honor1984 (希望願望成真)
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標題Re: [線代] 若對於所有的方陣，矩陣相乘可交換...
時間Fri Aug 2 21:55:27 2013
※ 引述《ilmvm0679 (映雪)》之銘言：
: 如果對於所有的方陣，矩陣相乘都可以交換，即
: AB=BA for all 同階方陣B
: 為什麼A一定要是單位矩陣的常數倍？(印象中有在書上看到這個結果)
: 請問要如何證明？謝謝。
假設方陣為n*n
a=1~n
b=1~n
定義一個n*n矩陣B[a,b]
除了(a,b)為1之外
其餘element = 0
(AB[a,b])_ik = A_ia δ_bk
(B[a,b]A)_ik = δ_ia A_bk
AB = BA => A_ia δ_bk = δ_ia A_bk
所以我們有如下關係式
A_ia δ_bk = δ_ia A_bk for all a, b, i, k
QED
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◆ From: 128.220.159.5
→ Honor1984 :為了邏輯的完整 證明最後一步再加一句kI*B = B*kI 08/02 22:05
→ Honor1984 :for all B. 不加也是可以啦 只是有點賊而已 08/02 22:05
推 profyang :我好像突然看懂你的證明了 你是把B拆成n^2個的基底 08/02 22:17
→ profyang :這樣跟我的證明是等價的 08/02 22:17
→ Honor1984 :嗯 好像是 08/02 22:37
推 ilmvm0679 :謝謝H大，我看懂囉～ :D 08/02 23:52