Re: [線代] 若對於所有的方陣，矩陣相乘可交換...

[profyang (prof)]

※ 引述《ilmvm0679 (映雪)》之銘言：
: 如果對於所有的方陣，矩陣相乘都可以交換，即
: AB=BA for all 同階方陣B
: 為什麼A一定要是單位矩陣的常數倍？(印象中有在書上看到這個結果)
: 請問要如何證明？謝謝。
剛才稍微想了下可能不用想太複雜

因為B是任意矩陣都要成立

例如我考慮

AB(1,1)=A11*B11+A12*B21+A13*B31...

=BA(1,1)=A11*B11+A31*B13+A31*B13...

如果今天你A12,A13...A21,A31這些東西不等於0的話

就算上面等式成立了我隨便動一下B(因為B是任意矩陣)等式又不成立了...

所以唯一可能就只能讓A12,A13...A21,A31這些東西等於0等式才會恆成立

所以就是A(i,j)=0 if i=/=j

再來考慮

AB(2,1)=A21*B11+A22*B21+A23*B31+...

=BA(2,1)=B21*A11+B22*A21+B23*A31+...

因為前面證明A(i,j)=0 if i=/=j 故 上面可以得到A22*B21=B21*A11

B21是任意數所以A22=A11,同理可證其他的==>A(i,i)=A(j,j) for i=/=j

因此你的命題是對的 A必須是單位矩陣乘以一個常數

有錯請指證@@

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如果我們要把磁鐵棒放進線圈，                        　
線圈會說「不!!不要過來!!」而發出阻力不讓磁鐵棒靠近。
但是如果我們要把放進去的磁鐵棒從線圈拿走，　　　　　　　　      「傲嬌是一種
線圈反而會說「我…我又沒有叫你走!!」而發出阻力不讓磁鐵棒離開= =　　自然現象」
這種現象不就是傲嬌嗎！！！　　　　　　　　　　　　　　　　　  新科科人雜誌
所以傲嬌這東西根本不是新梗，19世紀就有科學家發現傲嬌了！　　　　　／民明書房

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◆ From: 1.169.177.211
→ Honor1984   :我證明的方式是得出A=某數 * I 他的命題沒有錯
→ profyang    :我對他命題的理解是:If AB=BA for any B, then A=kI
→ profyang    :但1F你的證明好像是If A=kI, then AB=BA for any B
→ Honor1984   :我的證明中在一開始沒有給A_ij任何限制
→ profyang    :等等 我這證明還少一個步驟 他的命題應該是對的
※ 編輯: profyang        來自: 1.169.177.211        (08/02 22:15)
推 ilmvm0679   :謝謝p大～ :)))