推 ilmvm0679 :謝謝您的回答，但我學得還不多～所以還不是很懂呢 08/08 15:22
→ ilmvm0679 :先把它留下來～ 以後再看好了 :) 08/08 15:22
※ 引述《ilmvm0679 (映雪)》之銘言：
: 如標題，
: sl(n,R)是 trace為0的 n階實矩陣 所成的集合；
: su(n)=u(n)與sl(n,C)的交集，其中u(n)={A屬於M_n(C): A*=-A}
: (A*是矩陣A的轉置 再取共軛)
: sl(n,C)是 trace為0的n階複數矩陣 所成的集合
: 請問為什麼sl(n,R)與su(n)不同構呢？謝謝～
令B(-, -)為Killing form.
SU(n)是compact Lie group.
令(-, -)為任意一個su(n)的inner product.
Define <X, X> = ∫(Ad(g)X, Ad(g)X) dg, integration over SU(n).
那麼<X, X>是個inner product invariant under Ad(SU(n)).
所以su(n)以adjoint作用在su(n)上是skew symmetric w.r.t. <-, -> .
因此對所有X∈su(n), ad X的eigenvalue都是purely imaginary,
故(ad X)^2的eigenvalue非正,因此 B(X, X) = (ad X)^2 ≦ 0.
因為su(n)是semisimple, 根據Cartan's criterion, B(-, -)為nondegenerate.
所以B(X, X) < 0.
對於sl(n, R), 隨意挑一個元素X=diag(1, -1, 0, ..., 0), 可以發現B(X, X) > 0.
故B(-, -)非negative definite.
註: 1. 一個semisimple Lie algebra是compact <=> Killing form < 0
2. 因為SU(n)是compact, 所以才能integrate over SU(n).(這邊dg是Haar measure)
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