推 a23231212 :感謝大大解答 08/09 08:04
※ 引述《a23231212 (Lionyo)》之銘言：
: 在下是代PO的
: 還麻煩強者大大幫忙解答
: 老師派出兩題題目要我們證明
基本上就是chain rule而已。
以下以全形表向量。
: 1.如圖：http://ppt.cc/bW37
▽。(fＦ) = ∂ (fＦ) = (∂f) Ｆ + f ∂Ｆ = ▽f。Ｆ + f ▽。Ｆ
i i i i i i
重複的index i 有被加起來。
: 2.如圖：http://ppt.cc/nd7M
▽。(Ａ╳Ｂ) = ∂ (Ａ╳Ｂ) = ∂ε Ａ Ｂ
i i i ijk j k
ε = 1 如果 ijk = 123, 231, 312 ； 等於 -1 如果 ijk = 132, 213, 321
ijk
其他狀況是零，重複的 indices ijk都有一個summation都要加起來。
▽。(Ａ╳Ｂ) = ε [(∂Ａ )Ｂ + Ａ (∂Ｂ )]
ijk i j k j i k
= (▽╳Ａ)。Ｂ - Ａ。(▽╳Ｂ)
上面用的關鍵等式有： Ａ。Ｂ = Ａ Ｂ
i i
(Ａ╳Ｂ) = ε Ａ Ｂ
i ijk j k
ε對調一組indices就差一個負號 ε = -ε
ijk jik
關於第二個等式還有一種看法，不是證明：
▽。(Ａ╳Ｂ)在這裡面▽扮演向量算符的腳色，所以他要符合微分的萊布尼茲法則
也要有向量代數的性質。
微分算符的性質會讓他作用到ＡＢ上
▽。(Ａ╳Ｂ) = ▽。(Ａ╳Ｂ) + ▽。(Ａ╳Ｂ)
|___| |________|
接著用向量代數三重積的性質
= Ｂ。(▽╳Ａ) + Ａ。(Ｂ╳▽)
要注意第二項的▽是作用在 Ｂ上的，所以調過來後會差負號。
= (▽╳Ａ)。Ｂ - Ａ。(▽╳Ｂ)
: 在網路上查詢了很久，但還是查詢不到
: 麻煩各位強者大大可以幫忙證明。
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