Re: [工數] 積分因子

[yueayase (scrya)]

※ 引述《aappjj (北極海)》之銘言：
:     久沒碰工數 突然要解題 算到中間就卡住了
:     題目:
:       dx
:     ------ = x + y
:       dy
:     => dx - (x+y)dy = 0
:     M(x,y) = 1
:     N(x,y) = -(x+y)
:     =>  ∂M           ∂N
:        ----- = 0     ----- = -1    非正合 找積分因子
:         ∂y           ∂x
:       ∂M     ∂N
:      ----- - -----
:       ∂y     ∂x            1
:   ------------------- = ------------
:          M - N             1+x+y
:           ╭     d(1+x+y)  ╮
:           │-∫------------│       1
:     I = e^╰      1+x+y    ╯ = ----------
:                                   1+x+y
:          1             x+y
:    ∴ --------dx - ---------dy = 0
:        1+x+y          1+x+y
:    =>  ∂ψ       1
:       ------ = --------
:        ∂x      1+x+y
:        ∂ψ     -(x+y)
:       ------ = --------
:        ∂y      1+x+y
:     然後就卡在ψ不知怎麼反推回去了
:     請幫忙算完 謝謝


dx
--- + P(y)x = f(y)
dy


想要同乘一個函數 I(y)使得左邊變成  d(I(y)x) / dy

                                                      ∫P(y)dy
=> I'(y) = I(y)P(y) = > ln I(y) = ∫P(y)dy => I(y) = e


I(y)就是積分因子



原題


dx
--- - x = y
dy

           -∫dy    -y
=> I(y) = e      = e   (找某一個就好)


      -y             -y
=> d(e   x) / dy = ye

    -y         -y         -y      -y        -y    -y
=> e   x = ∫ye   dy = -ye   + ∫e  dy = -ye   - e   + C

          y
=> x =  Ce  -y - 1


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◆ From: 111.251.174.23
→ yueayase    :附帶一提的是,我這種做法是基於把題目看成一階linear
→ yueayase    :的微分方程式, 而Heaviside的方法是看成homogeneous
→ yueayase    :的微分方程式(form: dx/dy=f(x+y))
→ yueayase    :做法都很固定