[微積] 積分常數

[gj942l41l4 (大四了RRR)]

最近在讀工數，遇到了這一類的問題



p=dy/dx，求解微分方程

           n            n-1
    a(x,y)p  + a  (x,y)p   + ..... + a(x,y)p + a(x,y) = 0
     n          n-1                   1         0



書上有個作法是將它做因式分解

    [p-f(x,y)][p-f(x,y)]...[p-f(x,y)] = 0
        1         2            n


解出各個括號中的一階一次微方的解

      φ(x,y)=c 、φ(x,y)=c、....、φ(x,y)
       1           2                n


則原微分方程的解為

    [φ(x,y)-c][φ(x,y)-c]...[φ(x,y)-c] = 0
      1          2             n




而我的疑問在於

每個一階一次微方的積分常數(即為c)，需要相同嗎?? 書上是都寫c

我自己是想，就算積分常數不同(即需寫作c1、c2、c3...)，也都是微方的解吧!

可是又怪怪的，如果積分常數可以那麼多個，那就要有很多初始條件

但一階微方只需要一個初始條件吧...



感覺怪怪但也不知道哪裡卡住了，希望各位大大救我一下==

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.45.23.209
推 doom8199    :以原po的寫法,  c_i = φ_i(v), v為初值.
→ doom8199    :它其實只是把所有的函數 φ_i 平移 φ_i(v)
不太懂欸  可否請大大詳述一下 @@


例如我的題目是

      p^2-1=0 , y(1)=1

最後應該可以解出通解

     (x+y-c )(x-y-c )=0
           1       2

那我的y(0)=1要代入哪一個小括號中求積分常數呢?

而剩下來的另外一個積分常數又如何決定?



如果以圖來想也確實在斜率1和斜率-1的直線都能滿足微分方程

若我的初始條件落在斜率1的線上(即代入去解出c_1)，也只能決定斜率1是哪條

那斜率-1的線的確是未定的，c_2仍然可以是任意常數

為何它只是經過平移的寫法呢 ...@@?
※ 編輯: gj942l41l4      來自: 114.45.23.209        (08/10 00:45)
推 jacky7987   :二階本來就要兩個起始條件才有唯一解阿
→ gj942l41l4  :這是一階的...
推 jacky7987   :我搞笑 我以為p^n 是d^ny/dx^n Q
→ doom8199    :建議原po把積分常數想成是一種集合的表達式
→ doom8199    :那樣解代表 至多可由n種不同的曲線族構成 通解
→ doom8199    :所以寫 c 還是寫 c_i 都無所謂; 但一般我們還是會
→ doom8199    :習慣寫成 c, 原因是一階 ode 通解會寫成 φ(x,y,c)=0
→ doom8199    :寫成 c_i 容易讓人誤解 解集 的自由度 > 1
→ gj942l41l4  :嗯嗯感謝  後來有想通了 @@
→ sneak       : 二階本來就要兩個起始條 https://muxiv.com
→ sneak       : 習慣寫成 c, 原因是 http://yofuk.com
→ muxiv       : 所以寫 c 還是寫 c http://yofuk.com