[微積] 用黎曼積分定義如何作∫_[0,1] x^2 dx

[kyoiku (生死間有大恐怖)]

用黎曼積分定義求∫_[0,1] x^2 dx


我是取分割 P_n = {0 = x_0 < x_1 < ... < x_n = 1},
          Δx_i = x_i - x_(i-1)
           ξ_i 是 [x_(i-1) , x_i] 上任一點

直接下去作，那 x^2 在 [0,1] 間的黎曼和就是

Σ_[i from 1 to n](ξ_i)^2．Δx_i

請問接下來怎麼讓上面那個東西在 ∥P_n∥-> 0 的情況下極限是 1/3 呢

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.255.90.140
→ ddxu2       :因為你可以隨便取一個，你就取1/n,2/n,3/n...
→ ddxu2       :那該級數就寫成i=1,...,n , (i/n)^2加總
→ ddxu2       :再繼續化簡，把1/n^3提出來，後面就是n(n+1)(2n+1)/6
→ ddxu2       :令lim n -> 無限大，這也能讓最大區間趨近0，就變成
→ ddxu2       :單純求極限了