→ pcyu16 :算到3就可以了 因為4以上連實數解都沒有.. 08/20 18:37
※ 引述《alice456 (orz)》之銘言：
: ※ 引述《ibiwwn (連連看)》之銘言：
: : x, y 都是整數且 x^2 + 4xy + 5y^2 - 2x - 8y + 4 = 0，求 x - y 的最小值，
: : 答案是-8，學生問的問題，只有解答沒有詳解，先感謝回應的夥伴。
: 應該可以用橢圓的一些幾何技巧去算(但我一時沒想到:p)
: 老實人推導
: x-y=k -->x=y+k代回橢圓
: 整理可得
: 10y^2+(6k-10)y+k^2-2k+4=0
: 該方程式一定有解
: 因此套用b^2-4ac>0的方法
: (6k-10)^2-40*(k^2-2k+4)>=0
: 所以可得k>=答案
: 可是算出來好像不合您提到的-8
: 不知道是不是計算錯誤造成
: 請你參考這個方法看看
-(6k-10)+-根號判別式
10y^2+(6k-10)y+k^2-2k+4=0 算出來之後 代入求根公式得 y= -----------------
2x10
因為y是整數 所以判別式一定等於某數的平方 開根號出來才是一個整數
設(6k-10)^2-40*(k^2-2k+4)=t^2
展開得-4(k^2+10k+15)=t^2 => k^2+10k+15也是一個完全平方數 而且是負號
原本設定x-y=k 又xy都是整數 所以相減也是整數 => k=整數
k^2+10k+15=-(1)^2 有整數解 k=-8 或 -2
k^2+10k+15=-(2)^2
k^2+10k+15=-(3)^2 有整數解 k=-6 或 -4
可能還要驗算 求根公式才知道k值多少時候 y是不是整數
這樣方式好像也可以 不過我不知道要算多少組 @@
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