[代數] field extension and automorphism

[egg12388 (微涼的風)]

我自己想了2個命題:

Let F be a field and K be its extension field.

Given r \in K and consider G=Aut(K/F).

(G is the group of automorphisms of K fixing F.)

Assume that [K:F] is finite. Then

1. If g(r) \in F for all nonidentity g \in G, then r \in F.

2. If g(r)=r for all g \in G, then r \in F.

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這2個命題都可以證的出來

我的問題是:如果不是 finite extension 的話, 這2個結論會對嗎?

有沒有反例? 或是有沒有資料可以參考? 我書上都沒有找到

謝謝!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.109.105.70
推 willydp     :你應該assume K/F是Galois, 1, 2才會對
→ willydp     :infinite也會對,根據infinite Galois theory.
→ egg12388    :原本一開始是考慮Galois, 但後來發現證明過程不需要
→ egg12388    :只需要finite extension. 謝謝 我再去找找看資料~
推 willydp     :我送你個反例吧: F = F_p(x), K = F[x^{1/p}]
→ willydp     :K/F是purely inseparable, 所以Aut(K/F) = 1
→ egg12388    :謝謝, 第二個命題我證明有誤, 第一個應該是沒問題的
→ egg12388    :因為Aut(K/F)是finite的~