Re: [其他] 基底空間-向量維度的數目該如何判斷？

[peterchen119 (PeterChen)]

※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言：
: 題目：請問以下基底為向量空間的幾維度？
: (1) 1 , x , x^2
: (2) 1-x , x , (x^2)-1
: (3) x , x+x^2 , x^2
: (4) 1 , x-1 , x+x^2 , x^2
: (5) x , x^2
: 答案：沒有答案，只能知道(1)為3維度空間向量。
: 小弟實在無法下筆與思考該如何判斷，麻煩版上前輩們能不吝嗇指導，謝謝！

前情提要，這題的問題應該改成：【這些向量為基底空間的幾維度】

小弟的觀念釐清：

V(Vector) 屬於 R^n

V 為 R^n 的向量空間

S 屬於 V

S = span(B) = 零向量
        ---
        ↑
        B=Basic 空集合

要形成 S ，一般為向量所(織成)的(線性組合)為零向量

                                                             →
一般線性組合為零 = 線性獨立        舉例：0*(1,2,3)+0*(1,0,3)=0

                                                                     →
一般線性組合不為零 = 線性相依      舉例：a*(c,d,e)+b*(q,m,n)=(0,1,0)=1
------------------------------------------------------------------------------

要判斷是否為該度空間：

若V 屬於 R^6

V(1,0,0,0,0,0) 不屬於R^6，為R^1

V(0,1,0,0,0,0) 不屬於R^6，為R^2

V(0,0,1,0,0,0) 不屬於R^6，為R^3

V(0,0,0,0,0,1) 屬於R^6
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何謂基底維度數目：基底最小元素的織成

如上述小弟所詢問的題目來講：

(1) 1,X,X^2

假設 X=1 , X^2=0 → (1,1,0)

     X=0 , X^2=1 → (1,0,1)

     X=0 , X^2=0 → (1,0,0)

     X=1 , X^2=1 → (1,1,1)

     基底元素為：(1,1,0) (1,0,1) (1,0,0)

     所以維度數目=3

(2) 1-X , X , X^2 - 1

假設 X=1 , X^2=0 → (0,1,-1)

     X=0 , X^2=1 → (1,0,0)

     X=0 , X^2=0 → (1,0,-1)

     X=1 , X^2=1 → (0,1,-1)

     基底元素為：(0,1,-1) (1,0,0) (1,0,-1)

     所以維度數目=3

(3) X , X+X^2 , X^2

假設 X=1 , X^2=0 → (1,1,0)

     X=0 , X^2=1 → (0,1,1)

     X=0 , X^2=0 → (0,0,0)

     X=1 , X^2=1 → (1,1,1)

     基底元素為：(1,0,0) (0,1,1)

     所以維度數目=2

(4) 1 , X-1 , X+X^2 , X^2

假設 X=1 , X^2=0 → (1,0,1,0)

     X=0 , X^2=1 → (1,-1,1,1)

     X=0 , X^2=0 → (1,-1,0,0)

     X=1 , X^2=1 → (1,0,2,1)

     基底元素為：(1,0,1,0) (1,-1,0,0)

     所以維度數目=2

(5) X , X^2

假設 X=1 , X^2=0 → (1,0)

     X=0 , X^2=1 → (0,1)

     X=0 , X^2=0 → (0,0)

     X=1 , X^2=1 → (1,1)

     基底元素為：(1,0) (0,1)

     所以維度數目=2
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以上為小弟釐清後的觀念與解答，不知是否正確，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.35.30.78
→ CaptainH    :全錯. 麻煩找一本書重新讀
→ mystyle0704 :我想原題目應該是要問題目給的元素Span之後的維數
我最後計算的過程，就是拆解Span(B)的元素，

舉例來講：(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 這些就構成Span(B)的基本元素。

這些元素經過線性組合後會為零，也就是Span(B)空集合，亦是線性獨立。

但是線性獨立元素之中，要砍掉已經織成的線性組合，也就是剩下的基本元素，

這些組成基底的基本元素，就是基底維度的數目。

→ mystyle0704 :所以基本上只要去了解每個元素的獨立與否
→ mystyle0704 :是否可以由其他元素線性組合得出
→ mystyle0704 :如果可以就必須去掉 因為基底要求和其他基底線性獨立
→ jollic      :你先找身邊的人問比較快....
→ mystyle0704 :維數是指空間中基底的數目
→ mystyle0704 :我知道這樣講很不嚴謹
何謂嚴謹，把一些數學符號組成一大堆讓人看不懂的理論，才叫嚴謹？

前面有位前輩CaptainH說我全錯，哪裡錯您知道嗎？麻煩不吝嗇指導！

不要連自己的觀念也不清楚，就一句話全錯帶過.........真的很讓人家........

我PO這篇文章之前，花了三天的時間，看了交大的開放式課程，

又看了網路相關資料，又把O'Neil的書仔細看了一遍。

你就一句話，全錯帶過.....................實在是................

→ mystyle0704 :但是目前這樣回答你比較洽當
→ mystyle0704 :建議原PO可以先了解 線性獨立與相關→基底→維數
※ 編輯: peterchen119    來自: 114.35.30.78         (08/25 20:43)
→ CaptainH    :1. 請問你的S,V,B是什麼
S = Span(B) B=Basic

V= Vector

→ CaptainH    :2. span 出零向量那就零向量, 怎麼會等於空集合
零向量就是空集合，若你要證明理論，請看交大開放式課程。

→ CaptainH    :3. 線性獨立/線性相依的定義你跟本亂寫
那請前輩用最簡單的方式解釋一下，何謂線性獨立，何謂線性相依。

→ CaptainH    :4. 沒聽過什麼該度空間
連維度空間數目是什麼都不知道.............那您憑什麼說我全錯？唉！......

→ CaptainH    :6. 若V屬於R^6 ...又不屬於R^6 這什麼東西
麻煩您仔細看一下好嗎？不要為了酸文而酸文，連基本觀念都不懂，還敢酸別人！唉！
※ 編輯: peterchen119    來自: 114.35.30.78         (08/25 20:56)
→ CaptainH    :6. 維度的定義寫錯了. 應該是組成基底的向量數
→ CaptainH    :7. 最底下隨意把值代入X、X^2那邊 完全不知在寫什麼
→ CaptainH    :我搞不清楚你是來亂的還是學習障礙了
→ mystyle0704 :我是說我的講法很不嚴謹
→ mystyle0704 :因為我也非本科 只是剛好有學過線代
→ mystyle0704 :我反而覺得  原PO把問題複雜化了
→ mystyle0704 :這題主要還是要問你這些元素的線性相關或獨立性
不好意思！這題是要詢問您，基底的維度數目。....................
※ 編輯: peterchen119    來自: 114.35.30.78         (08/25 21:09)
→ mystyle0704 :我的方式是採用高斯消去 把每一行所代表的元素註記
高斯的運用方法，小弟有看過，據瞭解應該用於商業統計方面的計算，

我也不是很確定，高斯的相關運用方法小弟沒學過。

→ mystyle0704 :最簡列梯所代表的就是獨立或是由其他列的線性組合
→ mystyle0704 :再找基底 不是就要去把冗員去掉
※ 編輯: peterchen119    來自: 114.35.30.78         (08/25 21:11)
→ mystyle0704 :那這樣不就只是經過基底維數包裝的線性獨立相關題型
→ mystyle0704 :維數的定義就是像上面C大所講的
→ mystyle0704 :其實我有仔細去想你的方法 我覺得有點高斯削去的味道
→ mystyle0704 :所以我才建議你再把那些定義看一下
好的！明天我再花點時間仔細審視自己的觀念，

也請前輩是否能指正出，今天小弟的PO文裡何處有重大的錯誤，

然後給小弟建議修正的方法，謝謝！
※ 編輯: peterchen119    來自: 114.35.30.78         (08/25 21:19)
→ mystyle0704 :在求維數其實他屬於R幾空間並不重要
→ mystyle0704 :重要的是它所包含的獨立基底向量數目
推 jacky7987   :零向量不是空集合阿... 你要說的是span{空集合}=0吧
→ CaptainH    :樓上請不要把數學符號組成一大堆讓人看不懂的理論
→ jacky7987   :如果是的話span{空集合}=0向量 是定義
→ CaptainH    :span({})=0 這對他來說的意思是 {}=0
推 jacky7987   :樓上XDDDDDD
→ mystyle0704 :很壞 XDD  初學總有迷失
推 jacky7987   :(剛剛以為真的在罵我直到我細心讀完文章之後XDDD
→ jacky7987   :線性獨立的定義很簡單: 假設V是一個向量空間 v_1~v_n
→ CaptainH    :有迷失嗎? 在他眼裡我才是迷失吧, 哈
→ jacky7987   :是n個在V裡面的向量。我們稱這n個向量為 線性獨立
→ jacky7987   :如果a_1=...=a_n=0是唯一一組解使得
→ jacky7987   :a_1*v_1+...+a_nv_n=0
→ jacky7987   :For example, let v_1=(1,0,0) v_2=(0,1,0)
→ jacky7987   :v_3=(0,0,1)
→ jacky7987   :a_1v_1+...+a_3v_3=(a_1,a_2,a_3)=(0,0,0) iff
→ jacky7987   :a_1=a_2=a_3=0
→ jacky7987   :thus v_1,v_2,v_3 是線性獨立
→ mystyle0704 :給原PO  J大所說的有個簡單的解釋 唯一零解
→ mystyle0704 :C大  他只是分不清楚你是真的懂而已XDDD
→ CaptainH    :樓上 你是這幾天下來第四位好心人了吧
→ jacky7987   :我拿你的例子 1,x,x^2在多項式所形成的向量空間裡面
→ jacky7987   :展開的子空間是幾維
→ jacky7987   :我們先看1,x,x^2是不是為線性獨立的
→ jacky7987   :(我這裡係數附於的體是R或C[實數或複數]
→ mystyle0704 :學東西有質疑才是真的會懂 現在暑假又沒人可以解答
→ jacky7987   :a_1*1+a_2*x+a_3*x^2=0 後面的0為0多項式
→ jacky7987   :根據兩多項是相等的判別為係數相等 所以可以得到
→ mystyle0704 :他有勇氣PO文  我只是覺得要好好回答他XDD
→ jacky7987   :a_1=a_2=a_3=0 所以他們是線性獨立
→ jacky7987   :因為線性獨立 所以他展成的向量空間就是3維(因為基
→ jacky7987   :底是3個
→ mystyle0704 :畢竟我也不是懂很多 下次換我問也希望有人能解答
→ jacky7987   :然後像是你的3 x,x+x^2,x^2這個你會發現
→ jacky7987   :1*x+(-1)*(x+x^2)+1*x^2=0所以他們線性相依
→ jacky7987   :所以要找出獨立的 發現到 x 和x^2是獨立的 而x+x^2
→ jacky7987   :與他們相依 所以維數為2
推 jacky7987   :剩下的你自己應該要有能力做出來 我們也許有時候良心
→ jacky7987   :不小心被啟發 所以在這邊鍵盤回文 但是如果我們說的
→ jacky7987   :是對的(其實就是對的也不用如果) 問題者是不是可以
→ jacky7987   :放開心去接受你不知道的知識 而不是用質疑的眼光看著
→ jacky7987   :C大問的那些符號問題 前幾篇一直有這樣的狀況
→ jacky7987   :當使用的不是一般學習數學者/數學家所習慣的符號
→ jacky7987   :是不是能夠多一點解釋 讓大家知道問題到底在哪
→ jacky7987   :我們每看到符號一次就生氣一次 問答的意願自然就不會
→ jacky7987   :很高...
推 jacky7987   :直到現在 我還是不懂V(1,0,0,0,0,0)是甚麼意思
→ CaptainH    :樓上您性子真好 @@
→ jacky7987   :奉勸原PO修一下邏輯 最簡單的就好 對於存在 所有 如
→ jacky7987   :果 等等這些數學用語的邏輯意義才知道自己錯在哪
→ jacky7987   :(我抱持著一勞永逸的回答方法 接下來就看好戲 交給
→ jacky7987   :C大您鞭打惹>.^
→ jacky7987   :說句實話 這邊的筆戰比起0^0是不是1無聊多了XDDDDDD
※ 編輯: peterchen119    來自: 114.35.30.78         (08/26 07:02)
→ jacky7987   :刪推文是在幹嘛
→ mystyle0704 :....
推 APM99       :本篇第一句話 括號裡的中文  我就看不懂惹
→ jacky7987   :沒得噓真的很煩==....
※ 編輯: peterchen119    來自: 1.165.195.61         (08/28 08:09)
→ sneak       : For example https://daxiv.com
→ sneak       : 1. 請問你的S,V, https://muxiv.com
→ muxiv       : 果 等等這些數學用語的 https://muxiv.com