Re: [其他] 基底空間-向量維度的數目該如何判斷？

[THEJOY (最後的演武)]

寫在前頭：

這篇文是功德取向，最近做太多壞事了...Orz

有任何小瑕疵的地方，還請各位大大不吝指教




寫在前頭之後：

原po的觀念錯的有點多，小弟我直接po篇定義和例子比較清楚，

因為我省略一些符號和嚴謹的數學定義，所以我想相信閣下一定能接受吧！

但恕小弟我可能無法回應你對於這篇文章的疑問，因為書本都有寫。

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符號：(因應bbs無法打出某些數學符號)

A,b 是兩集合, c是元素

"A ㄈ B" 代表 "A包含於B" 或說 "A是B的子集"
"c ε A" 代表 "c屬於A" 或說 "c是A的元素"

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在這邊，僅解釋佈於|R上的向量空間的相關定義，但其實都差不多

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給定一個佈於實數|R的向量空間(V, +, ‧)，

其中+是維向量加法, ‧是純量乘法，(為方便，純量乘法‧在下面可能會忽略)

令 v_1, v_2, ..., v_n ε V,
   a_1, a_2, ..., a_n ε |R.
   S = {v_1, v_2, ..., v_n}, 顯然的, S ㄈ V

定義
￣￣
1.線性獨立
若 a_1‧v_1 + a_2v_2 + ...+ a_nv_n = 0 => a_1 = a_2 = ...= a_n = 0
則我們稱 v_1, ..., v_n 是線性獨立 or
         S是線性獨立集

白話：若v_1, ...,v_n的線性組合為零，則線性組合的係數通通要是零

2.線性相依
若v_1, v_2, ..., v_n不是線性獨立，則稱作線性相依
(若S不是線性獨立集，則稱為線性相依集)

透過嚴謹的邏輯，線性相依的數學語言為：
存在a_1, ..., a_n ε |R 且 a_1, ..., a_n不全為零
使得 a_1v_1 + a_2v_2 + ...+ a_nv_n = 0

3.生成/織成
若對於任何 c ε V, 存在 a_1, ..., a_n ε |R 使
c = a_1v_1 + a_2v_2 + ...+ a_nv_n
則我們稱v_1, v_2, ..., v_n 生成/織成 V or
        S 是V的一個生成集

白話：V上的任何元素都可以用S裡面的東西的線性組合來表示

若S = {v_1, v_2, ..., v_n}，
則符號上記做 span(S) = span({v_1, v_2, ..., v_n}) = V

4.基底
若S同時是線性獨立集合又是生成集，則S稱作V的一個基底
(絕大多數情況下，基底並不唯一，但，裏頭的元素個數必相同)


注意：有些書把基底定義成"最大"的線性獨立集，但這些都等價

5.維度
一個向量空間的維度，定義為其基底的個數

例子
￣￣
1. B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是 |R^3 是一個基底

驗證：
1) 線性獨立

因為，若a‧(1,0,0) + b‧(0,1,0) + c‧(0,0,1) = (0,0,0)

我相信你很明顯的看的出來， a = b = c = 0

所以 B 是線性獨立集

2) 生成

對於任何一個 |R^3 上的元素 (a,b,c)

(a,b,c) 一定可以寫成 a‧(1,0,0) + b‧(0,1,0) + c‧(0,0,1)
i.e., (a,b,c) = a‧(1,0,0) + b‧(0,1,0) + c‧(0,0,1)

所以 B 是生成集

∴ B 是 |R^3 的基底，且 B 的元素個數是3，所以 |R^3 是 3維

2. B = {(-1,0,0), (0,-1,0), (0,0,-1)} 是 |R^3 上的一個基底

試著驗證看看吧！

3. B = {1, x, x^2} ㄈ P, 其中 P 代表由佈於實數的多項式所構成的向量空間
   B 是線性獨立集 但 不是P上的生成集

驗證：
1) 線性獨立

若 a + bx + cx^2 = 0, 很明顯的, a = b = c = 0

2) 無法生成

舉個例，像 x^3 ε P，但 x^3 沒辦法由 1, x, x^2的線性組合得到

注意：P是一個無窮維的向量空間

4. 若 P_2 = span({1, x, x^2})，則{1,x,x^2}是 P_2 這個向量空間的基底

驗證：
1) 線性獨立

剛剛證過了

2) 生成

因為P_2是由{1, x, x^2}生成的，所以很明顯的，{1, x, x^2}是P_2上的生成集

∴ {1, x, x^2} 是 P_2 的基底，且其元素個數是3，所以 P_2 是 3維

注意：P_2 = 所有佈於實數的2次多項式所構成的向量空間

5. {1, x, x^2+1} 也是 P_2 的一個基底

自己想想吧！

性質(關於線性獨立、生成、基底和維度的幾個敘述)
￣￣
若已知 V 是 n 維向量空間，B ㄈ V 是V的子集

1.
若 B 生成 V      且 B 有 n 個元素，則 B 是 V 的基底

2.
若 B 是線性獨立集且 B 有 n 個元素，則 B 是 V 的基底

回憶基底的定義

若 B 是V的生成集且線性獨立， 則 B 是 V 的基底

所以上述三項敘述可以綜合成：

若下列三者，有兩者成立，則第三個自動成立，換句話說，則 B 為 V 的基底，
(a) B 生成 V
(b) B 是線性獨立
(c) B 有 n 個元素





※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言：
: ※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言：
: : 題目：請問以下基底為向量空間的幾維度？

我認為，閣下題目一定有給錯，因為(3)不是基底

: : (1) 1 , x , x^2
: : (2) 1-x , x , (x^2)-1
: : (3) x , x+x^2 , x^2
: : (4) 1 , x-1 , x+x^2 , x^2
: : (5) x , x^2
: : 答案：沒有答案，只能知道(1)為3維度空間向量。
: : 小弟實在無法下筆與思考該如何判斷，麻煩版上前輩們能不吝嗇指導，謝謝！
: 前情提要，這題的問題應該改成：【此些向量空間為基底的幾維度】
                                  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

認真說，閣下最大的問題是沒有把問題說明清楚，

你要問的問題應該是：以這些向量所生成的向量空間，其維度是幾維


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