推 iclaire :謝謝!!!! 08/28 00:37
→ egg12388 :不客氣 :) 08/28 08:49
請配合圖來看比較清楚
(圖可以先另存, 因為不知道什麼時候會被系統刪掉~)
首先第一件事, P 一定會在 BC 的中垂線上
如圖: http://ppt.cc/5xAI
如果不在中垂線上的話, 令他叫 Q
作一條通過 Q 與 BC 平行的線
這條線會與 BC 的中垂線相交, 令他叫 P
很明顯 PA 會小於 QA
接著你要試著去驗證 PC + PB 會小於 QC + QB (homework XD)
有了上面那件事後, 就要試著來找出 P 了
如圖: http://ppt.cc/TR4U
我們目的是要找出 a+2b 的最小值
且 a = sqrt(8)-y, b = sqrt(y^2 +1)
也就是說找出
sqrt(8)-y + 2(sqrt(y^2 +1)) 的最小值, y 介於 0 到 sqrt(8)
可以得到 y = 1/sqrt(3) (homework 2)
再找出角度 t 以前, 我們可以先得到一個漂亮的式子
三角形APB的面積 + 三角形POB的面積 = 三角形AOB的面積
所以有 (ab sin(t))/2 + (sqrt(8)-a)/2 = sqrt(8)/2
整理一下可以得到
a(b sin(t) - 1) = 0
因為 a 不是 0, 所以 b sin(t) = 1 (我覺得這式子很漂亮啦@@")
因此由上面就有
sin(t) = 1/b = 1/sqrt(y^2 +1) = sqrt(3)/2
P 在三角形內部, 所以 t 會大於直角, t = 120度
事實上只要是等腰三角形這性質就是成立的 (homework 3)
※ 引述《iclaire (小可)》之銘言：
: 三角形ABC中
: BC=2 AB=3 AC=3
: 問三角形內部一點到三頂點距離和的最小值?
: 這題最後似乎有一個結論是
: 當內部一點P 使得 角APB = BPC = CPA = 120度時
: 距離和就會有最小值
: 想問一下這是適用於所有情況的嗎
: 以及這個要怎麼證明呢@@
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