→ pcyu16 :比起拼遞迴式 直接算個幾項就很明顯=..= 08/28 10:38
※ 引述《shmilypon ()》之銘言：
: 大家好，我想請教一題高中數學競賽教程裡的題目，
: 他是在第35講裡的例2
: 題目：數列{an}定義為a0=2，a1=5/2，an+1=an(an-1^2-2)-a1，
: n=1,2,...，試證明[an]=2^{[2^n-(-1)^n]/3},n=1,2,3,...
: [an]表示an的整數部分
: 我看了書上的敘述，但是還是不太懂，希望有理解的大大可以給我一些指點XD
a0 = 2
a1 = 5/2
a2 = a1(a0^2 - 2) - 5/2 = 5/2
a3 = a2(a1^2 - 2) - 5/2 = 65/8
a4 = a3(a2^2 - 2) - 5/2 = 1025/32
直接觀察這些數之間的規律可以發現
a0 = 1 + 1/1
a1 = 2 + 1/2
a2 = 2 + 1/2
a3 = 8 + 1/8
a4 = 32 + 1/32
更甚之
a0 = 2^0 + 2^-0
a1 = 2^1 + 2^-1
a2 = 2^1 + 2^-1
a3 = 2^3 + 2^-3
a4 = 2^5 + 2^-5
所以在這裡先大膽假設
an = 2^bn + 2^-bn
其中
bn = [2^n-(-1)^n]/3
為題目給出
很明顯b0 = 0和b1 = 1符合題目要求
再把整個式子丟進遞迴關係式去用數學歸納法驗證上述an的一般式即可。
（這個步驟挺繁複的，不過不難，展開比較一下係數就好了。）
因為2^-bn這個部分在n>0時只是小數，在取整時會消失，故可得證[an]=2^bn。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 129.2.129.154