作者THEJOY (最後的演武)
看板Math
標題Re: [其他] 向量-正交基底
時間Thu Aug 29 00:02:50 2013
寫在最前頭：
功德文 again，因為今天又做壞事了QAQ 有錯誤或瑕疵的地方還請不吝指證，
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回憶一下高中的內積
在|R^2上，若 x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2)
則 x 和 y 的內積為 x_1y_1+x_2y_2，符號上記作 <x, y> = x_1y_1+x_2y_2
|R^3以上太難，我們就跳過吧(反正你也沒問)
定義
￣￣
1.
正交(orthogonal)
x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) ε |R^2
若 <x, y> = 0，則我稱x與y正交 (x is orthogonal to y)
2.
正交集(orthogonal set)
S = {x_1, x_2, ..., x_m} ㄈ |R^2 是一堆|R^2上的向量
若<x_i, x_j> = 0 for all i =/=j，則我們稱S是|R^2上的正交集
白話：S裡面任取兩條向量來內積都是0的話，則S是正交集
3.
正交基底(orthogonal basis)
B = {x_1, x_2} ㄈ |R^2
若 B 是
基底又是
正交集，則我們稱B是|R^2上的一組正交基底
4.
單範正交基底、么正基底(orthonormal basis)
B = {x_1, x_2} ㄈ |R^2
若 B 是
正交基底且
B裡面的向量之長度都是1，則則我們稱B是|R^2上的一組么正基底
白話：定義講得夠白話了，我沒啥好補充的...
好了，有了上面這些寫給外國人看的數學定義，
雖然可能會出現一些台灣人的符號，但我準備要用外國人的方式來解題囉~
※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言：
: 題目：(1) R^2 (1,0) (0,1)
在上一篇有驗證過，{(1,0), (0,1)}是|R^2上的
基底
又 <(1,0), (0,1)> = 1*0+0*1 = 0
太棒了，內積是0，所以這個集合是
正交集
∴ 我們立馬得到，{(1,0), (0,1)}是|R^2上的正交基底，秒殺！
: (2) R^2 (1,0) (0,2)
猜想：{(1,0), (0,2)}是|R^2上的正交基底
因此，必須驗證這組向量是基底又正交
所以，接下來要驗證線性獨立、生成、正交共三件事
驗證：
1) 線性獨立
若 ㄅ*(1,0)+ㄆ(0,2) = (0,0)
=> (ㄅ,ㄆ) = (0,0)
=> ㄅ=ㄆ=0
∴ {(1,0), (0,2)} 是線性獨立的，水啦！！！
2) 生成
隨便給|R^2上的一組向量 (ㄅ,ㄆ) ε |R^2
因為 (ㄅ,ㄆ) = ㄅ*(1,0) + (ㄆ/2)*(0,2)
∴ {(1,0), (0,2)}是生成集，換句話說，span({(1,0), (0,2)}) = |R^2，太爽了！！
3) 正交
因為 <(1,0),(0,2)> = 1*0+0*2 = 0
∴ {(1,0), (0,2)}是正交集，這麼好證的題目我以後證不出來怎麼辦啊QAQ
∴根據上述三個簡單又有點繁複的過程，{(1,0), (0,2)}是|R^2上的一組正交基底
: (3) R^2 (1,1) (1,-1)
: (4) R^2 (1,1) (1,0)
這兩題跟上面的驗證法一樣，自己做做看，
希望你不要跟我帶過的大學生一樣，講說回去自己驗證，卻都不驗證，只來討答案
: (5) R^2 {[1/2^(1/2)],[1/2^(1/2)]} {[1/2^(1/2)],[1/2^(1/2)]}
1/2^(1/2) = √2/2
根據經驗的累積(如果你跟我一樣很愛"動手做"這種簡單的題目的話)
我敢斷言，{(√2/2,√2/2), (√2/2,√2/2)}不是線性獨立
線性相依：
若 ㄅ*(√2/2,√2/2)+ㄆ*(√2/2,√2/2) = 0
=> ( √2/2(ㄅ+ㄆ), √2/2(ㄅ+ㄆ) ) = 0
=> ㄅ+ㄆ = 0
雖然ㄅ, ㄆ都可能是0，但也有可能是ㄅ=1,ㄆ=-1
所以不符合線性獨立的定義(定義要求線性組合為零，則係數"必定"為零)
因此，{(√2/2,√2/2), (√2/2,√2/2)}是線性相依
∴ {(√2/2,√2/2), (√2/2,√2/2)}不是正交基底
(這題也能透過驗證非正交來得到不是正交基底，這是你的功課！)
: (6) R^2 (4,3)
上一篇文章的性質有提過，向量空間的維度定義成基底的個數
上一篇文章亦提過，|R^2是2維的但{(4,3)}只有一個向量，
故，{(4,3)}不是基底，因此，不可能是正交基底。
: 以上何者為正交基底？
: 答案：沒有
: 小弟的答案：(1),(5),(6)為正交基底
: 小弟的想法是：正交基底的定義：基底元素向量中，它的純量為1者為正交基底。
你的想法根本就錯了，定義不這樣寫的
: 所以 (1) (1^2 + 0^2)^(1/2) = 1
: (0^2 + 1^2)^(1/2) = 1
: (5) [1/2^(1/2)]^2 + [1/2^(1/2)]^2 = 1
: (6) 第六題比較有問題，
: 小弟的思考邏輯是 (4,3) = [4*(1,0) , 3*(0,1)]
: 此題的基底元素是 (1,0) 與 (0,1)
: 因此 (1^2 + 0^2)^(1/2) = 1
: (0^2 + 1^2)^(1/2) = 1
: 所以(6)也為正交基底
: ------------------------------------------------------------------------------
: 以上為小弟的觀念與計算邏輯方式，
: 不知道是否正確，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！
給原po：
你的文章提到：
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講句實話THEJOY 與 TassTW 寫出來的文章，您們確定有理解過才寫出來嗎？
還是看著書本照本宣科，東抄抄西抄抄寫出來一些看不懂的東西。
不好意思，不是有意得罪你們，我實話實講，你們確定有理解過嗎？
有心教導他人，要把自己所懂的東西理解過的東西，簡單化與重點化講解給他人聽，
而不是寫一大堆數學符號組成一篇自以為了不起的文章，
你要寫去寫論文給外國人看好了，小弟程度不夠，只看得懂台灣人寫的東西。
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電腦旁的書只有朋友寄放的「純愛塗鴉」跟最近買的「幻想商人」(好看，推薦一下)
我只是回憶學習線性代數時的記憶來寫note，這兩篇note都不算正式的數學敘述，
我以為這種(對我而言並)不抽象的note對你來說堪用，很抱歉我錯了。
最後，TassTW大幫你指證了那麼多錯誤，你卻一句「你要寫去寫論文給外國人看好了」
先不談數學好不好，你是否該給TassTW大一點尊重和一聲道歉？
你這樣的學習態度讓我想起高微課打P&D打到老師看著他打的學弟，
不懂得尊重願意幫你導正錯誤的人，那有何資格要求別人尊重你？
若你不能給TassTW大一聲道歉，那這篇就是小弟對你的最後一篇功德文了。
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功德有限，對象無限。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 27.147.44.60
→ nonumber :施主你何必呢? 08/29 00:04
→ THEJOY :壞事太多，批幣太少，騙點批幣吧>.^ 08/29 00:09
推 destinycode :施主頗有好生之德 若能削髮為僧 日後功德不可限量XD 08/29 00:10
→ THEJOY :看不懂、覺得抽象、太多外國人的符號，不關我的事 08/29 00:11
→ THEJOY :我只是在有前提的條件下，做別人以前做過的事情而已 08/29 00:11
推 usttsu :功德無限 對象有限 08/29 00:13
→ hsnuyi :帳號已逝 但IP永存 XDDDDD 08/29 01:42
推 TassTW :也...不用跟我道歉啦 說聲謝謝就好 08/29 03:29
→ TassTW :(p.s. 我現在真的在論文給外國人看..........) 08/29 03:30
推 lenux :不管數學或白話他都不接受啊 08/29 04:57
推 Linethan :功德無限 可是對牛彈琴XD 08/29 05:05
→ peterchen119:第一點：(1,0) (0,2) 不是正交基底，您的觀念有問題 08/29 06:23
→ peterchen119:第二點：是(1/√2 ,1/√2)您還是錯 08/29 06:25
→ peterchen119:阿彌陀佛，錯誤的功德，錯誤的迴向，不過還是謝謝您 08/29 06:27
→ josh28 :不相信數學板的不會去隨便找個大學教授問一下嗎zzz 08/29 07:25
→ josh28 :怕你找不到 清大的你自己點進去隨便找一個順眼的 08/29 07:25
推 jacky7987 :有理化不就一樣... 08/29 07:26
→ josh28 :我可以幫你跟教授解釋來龍去脈以免他忽略你寄信問他 08/29 07:26
→ josh28 :其他的不用問 你把你這推文的第一點跟第二點拿去 08/29 07:27
→ josh28 :你能夠講到任何一位教授同意你任何一題的解答 全世界 08/29 07:28
→ josh28 :的學校你選一間 我把我自己賣了都要把你送去念 08/29 07:30
→ josh28 :因為你等同顛覆了整個數學這麼多年來的基礎觀念 連高 08/29 07:31
→ josh28 :斯尤拉都要甘拜下風 這種學生不送出國進修太浪費了 08/29 07:32
推 kanaitajimi :解釋得那麼清楚不是在做好事,你這樣會害了他 08/29 07:42
→ kanaitajimi :我相信原po這樣的態度去問教授,應該會被罵回去 08/29 07:43
→ josh28 :絕對會被罵回去 不過我根本不在乎有沒有害了他就是了 08/29 08:07
→ josh28 :坦白講我根本看到整個火大 衷心祈禱我以後不要再任何 08/29 08:08
→ josh28 :場合遇到這位不尊重人的"高材生" 不然我一定會做出很 08/29 08:09
→ josh28 :失禮的舉動的...數學板板友的修養真的都比我好太多了 08/29 08:09
→ kanaitajimi :這個人也有類似狀況,但我不知道是不是同一人 08/29 08:21
→ kanaitajimi :我會懷疑不是我特別去查,而是他真的太高調 08/29 08:21
→ kanaitajimi :我看math版也好一陣子,只看過賴打書和這位,共兩人 08/29 08:22
推 jeffliao1 :我的天阿，該不會1/√2=√2/2也有問題吧... 08/29 09:53
推 jacky7987 :他下一篇搞不好就問這個 08/29 10:39
推 Honinbo2007 :我的天阿，該不會1/√2=√2/2也有問題吧... 08/29 15:19
推 mystyle0704 :原PO功德無量 08/30 00:06
推 Linethan :我的天哪 連(1,0) (0,2)不是正交基底也講得出來 08/30 11:25
→ Linethan :還敢說別人觀念有問題....這個........ 08/30 11:26
→ Linethan :板友對數學不懂 原本也無可厚非 但我覺得peter板友 08/30 11:28
→ Linethan :已經太超過了..這不是存心來亂的就是根本不受教 08/30 11:28