推 shingai :想問 1/(1-s_{n+1})=1/(1-s_1)+n 要怎麼知道 08/31 20:46
※ 引述《shingai (shingai)》之銘言：
: 想問一題關於惠更斯級數的遞迴問題
: 見http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_22_1_20/page2.html
: 網頁中第二頁
: 的命題四的推論
: d_n=1/(n*(n+1))
: 是要怎麼解呢?
: 對於非線性遞迴實在不太有辦法
: 希望高手指點囉 !
d_1=s_1=1/2, d_{n+1}=(1-s_n)^2/(2-s_n)
=> (s_{n+1}-s_n)(2-s_n)=(1-s_n)^2
=> 2s_{n+1}=s_{n+1}s_n+1
=> s_{n+1}(1-s_n)=1-s_{n+1}
=> (1-s_{n+1})(1-s_n)=(1-s_n)-(1-s_{n+1})
=> 1=1/(1-s_{n+1})-1/(1-s_n)
=> 1/(1-s_n)=1/(1-s_1)+n-1=n+1
=> s_n=1-1/(n+1)
=> d_n=s_n-s_{n-1}=1/n-1/(n+1)=1/{n(n+1)}
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