→ suhorng :|x|>1時不收斂耶? |x|<1就是等比級數? 09/01 02:07
→ suhorng :逐項微分當然要原本的函數存在 此外還有其他條件 09/01 02:08
→ suhorng :原函數(若不以其他summability討論)定義的地方(-1,1) 09/01 02:09
→ suhorng :最後一個可能要先問複數次方是什麼意思 09/01 02:09
→ wohtp :|x| = 1 的時候級數發散啊。這就是singularity了。 09/01 03:38
→ wohtp :「non-singular terms的和也是non-singular」這個定 09/01 03:40
→ wohtp :理僅限於有限多項。 09/01 03:40
這裡有點不太懂
舉例來說
∞ n
原函數可以寫成 Σ x
n=0
∞ n-1
逐項微分後的結果為 Σ nx 是存在的
n=1
(不過我並不是很確定能否微分)
因為在微分方程的級數解也是類似這樣的型式
同樣也是加到無窮多項的 x 冪級數
但在級數解時似乎就沒有特別注意 x 的定義域和可微分範圍
所以這個地方想問得清楚一點
→ wohtp :第三個問題：複數次方是我們原來沒有的東西，所以這 09/01 03:42
→ wohtp :需要新的定義。 09/01 03:43
→ wohtp :然而我們希望新的定義跟舊有的實數次方不會衝突。 09/01 03:44
→ wohtp :然後 exp(y + ix) = (cos x + i sin x) exp(y) 剛好 09/01 03:45
→ wohtp :既漂亮又可以配合原來的實數次方定義。 09/01 03:46
→ wohtp :所以底數為什麼是e？因為定義啊。 09/01 03:47
→ willydp :因為f(t)=exp(i.t)滿足微分方程f' - i .f = 0 09/01 07:04
→ willydp :所以假如把C看成R^2, <f, f>' = 2<f', f> = 0 09/01 07:05
→ willydp :其中< , >是標準的R^2 inner product 09/01 07:08
→ willydp :故|f| = <f, f>^{1/2}為常數=1 09/01 07:09
→ willydp :底數是假的, 你只知道根據定義exp逐項微分後=exp 09/01 07:17
→ Vulpix :2.如果你希望看到的是1/(1-x)在|x|>1時的級數長相 09/01 11:53
→ Vulpix : 你可以試試看用1/x當公比去寫個等比級數。 09/01 11:53
1 1 1
可是這樣子出來的是 1 + --- + ----- + ----- + ...
x x^2 x^3
2 3
我原先希望知道的是 1 + x + x + x + ... 在 |x| > 1 的 close form
後來想想似乎不存在(因為不收斂)
推 ntust661 :1.感覺是不是顛倒了阿，因為 1/(1-x) 在特定區間內 09/01 16:09
→ ntust661 :才能對特定點展開成無窮級數 09/01 16:09
→ ntust661 :所以展開 1/(1-x) 如果想要收斂範圍是 /x/>1 則會展 09/01 16:10
→ ntust661 :開成另一個級數 09/01 16:10
→ suhorng :1那樣應該說另一件事? 有個函數的定義是這個無窮級數 09/01 16:56
→ suhorng :(p.s.在特定區間內), 可以求出這函數f(x)=1/(1-x) 09/01 16:57
→ suhorng :從1/(1-x)開始展開成級數是另一回事 09/01 16:57
推 Linethan :我認為在問一個函數的微分以前 要先把函數的定義域跟 09/02 00:52
→ Linethan :值域搞清楚 請問一下|x|>1時 f(x)有定義嗎? 值域是? 09/02 00:53
→ Linethan :打個比方 請問g(x)=1/x 在x=0的微分是多少? 能回答嗎 09/02 00:54
我認為是可以的
即使當 |x| > 1 時
∞ n
f(x) 依然可以寫成 Σ x
n=0
定義域為 R
值域為 R
但它並不會收歛到一個定值(好像有點矛盾)
這跟您所打的比方我認為不盡相同
g(x) = 1/x 在 x = 0 的地方是沒有定義的
2 3
可是 f(x) = 1 + x + x + x + ... 即使在 |x| > 1 時也不會無定義
只是函數值發散到 ∞ 而已
→ suhorng :R中沒有無限呀, 這樣不是一個function 09/02 13:05
→ suhorng :而且常見的發散到∞定義不就是要多大有多大嗎 09/02 13:05
推 Linethan :你自己都說矛盾了XD 你還認為有定義嗎? 並不是寫得出 09/02 14:14
→ Linethan :級數和的形式就叫做有定義好嗎? 請你想想看 當|x|>1 09/02 14:15
→ Linethan :時 要怎麼找到一個函數值落在值域R裡? 請注意∞並不 09/02 14:17
→ Linethan :屬於R喔！ 就像1/0也不屬於R一樣 09/02 14:19
推 Linethan :簡單來說 以f(2)為例 任何實數r(屬於R) 都有f(2)=/=r 09/02 14:23
→ Linethan :所以 當考慮值域為R時 f(x)在x=2這點是無定義的 因為 09/02 14:23
→ Linethan :你根本無法在值域裡找到任何一個元素 能等於f(2) 09/02 14:24
所以您的意思是指
f(x) 的定義域只在 (-1,1)
值域為 (0.5,∞)
即使 f(x) 可以寫成一個多項式函數的形式
但它依然不是個函數囉
如果是這樣的話
我想知道的是
是不是只有能寫成 close form 型式的多項式級數
其定義域和值域才能和多項式函數一樣皆為 R
亦或者是有其他的判斷標準
而不需要每個都要用代值的方式來檢驗
比方說
1 1 1 1 ∞ x n
g(x) = ----- = --- --------- = ---Σ (---)
2-x 2 1 - x/2 2 n=0 2
此級數的收斂範圍為 (-2,2)
也同時是它的定義域
但這從 close form 來說比較容易看得出來
從級數方面則無法那麼直觀(也因為這只是很簡單的單項的和而已)
最後
當我知道 f(x) 的定義域和值域後
其可微區域是否就等於其定義域
這也是我一開始的問題
※ 編輯: endlesschaos 來自: 114.32.109.39 (09/02 15:39)
推 LPH66 :所以我們有收斂區間 這就是你要找的"定義域" 09/02 16:28
→ suhorng :推樓上 "收斂區間" (然後一般這叫冪級數) 09/02 22:46
→ suhorng :認給定一個級數, 我們可以想辦法判別其收斂區間 09/02 22:46
→ suhorng :(例如可以用 root test), 在收斂區間內這個級數就 09/02 22:47
→ suhorng :定義了一個函數 (say, f(x)) 09/02 22:47
→ suhorng :也可以去試著求出closed form 09/02 22:52
→ suhorng :因為他是冪級數,有定理告訴我們在其收斂區間內(不含 09/02 22:53
→ suhorng :端點)逐項微分, 一定會收斂到該函數 f 的微分 09/02 22:53
→ suhorng :同時微分的收斂半徑不改變 09/02 22:53
→ suhorng :也可以隨便寫不知道有沒有closed form的冪級數,其收 09/02 22:55
→ suhorng :斂區間是整個R 09/02 22:56
推 Linethan :f是個函數啊 只是函數定義域是(-1,1) 09/02 22:59