→ yclinpa :通常需要某種形式的均勻收斂，證明時看要用什麼就用 09/02 09:00
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某補習班微積分講義的題目：
試證明
∞
∫(sinx)/x dx = π/2
0
解：
1.
∞
令F(α)=∫exp(-αx)(sinx)/x dx , α>0
0
F'(α)=-1/(α^2 +1)
(過程我暫且省略，抱歉>"<)
2.
∫dF=∫-1/(α^2 +1) dα
→F(α)=-arctanα +k
lim F(α)=0=-π/2 +k
α->∞
→k=π/2
(...以下略，因為不是我問題的重點)
這個解題過程中，用到一個手法：
∞
lim ∫exp(-αx)(sinx)/x dx
α->∞ 0
∞
=∫ lim exp(-αx)(sinx)/x dx
0 α->∞
∞
=∫ 0 dx
0
但是老師根本沒把為何lim(α->∞)F(α)=0交代清楚...
所以上面那三行是我自己加上去的...
我是想說exp(-αx)(sinx)/x在x不等於零時都是處處連續的(?)
而且對於任意α也都連續？
所以可以這樣把lim移進去積分裡面？
但我提出的問題，對於任意Riemann-Steljes可積的f(t,x)
是否能這樣把lim移進∫f(t,x)dx裡面，
主要是因為我想證明：
如果M(t)是機率密度函數f(x)的動差生成函數
那麼lim M'(t)=E(X) (期望值)
t->0
即使在t=0這一個點上M'(t)沒有定義。
∞
lim d/dt ∫ exp(tx)f(x) dx
t->0 -∞
∞
=lim ∫ a/at exp(tx)f(x) dx (a代表偏微分符號)
t->0 -∞
∞
=lim ∫ xexp(tx)f(x) dx
t->0 -∞
接下來，若lim可以移進去，則
∞
=∫ lim exp(tx) xf(x) dx
-∞ t->0
∞
=∫ xf(x) dx
-∞
=E(X)
這樣的證明過程只要會大一程度的微積分就夠了...
可是，要怎麼證明lim可以移進去∫裡面阿?? ="=
...還是我應該等有高微的基礎後再來思考進階的機率數統問題...
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.255.21.75
※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.21.75 (09/05 01:32)
※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.21.75 (09/05 01:36)
推 forloricever:14177 篇 09/05 09:20
→ yhliu :機率/數統嚴格來說用的是 Lebesgue 積分, 非黎曼積分 09/06 19:15
→ yhliu :yclinpa 已給正確回答, 何必再拿補習班解法來說? 09/06 19:16
→ Vulpix :就...還是均勻收斂的問題啊XD 你需要的大概是 09/06 19:24
→ Vulpix :Dirichlet test吧？ 09/06 19:24
→ anovachen :沒學過均勻收斂QQ 09/06 19:29
→ anovachen :也許要等念完高微才會懂>"< 09/06 19:30
→ Vulpix :應該不用等念完高微，你可以自己去查這個題目，這是 09/06 20:13
→ Vulpix :有名(其實是很常見)的題目，總能查到詳細證明的。 09/06 20:14
→ Vulpix :然後一步一步看懂就好。反正等到你念到高微也要做～ 09/06 20:15
推 suhorng :補習班作法當然就是漏講了證明阿 09/06 22:22
→ suhorng :你問的那個部份還簡單 因為 |sin(x)/(x)|<1 09/06 22:23
→ suhorng :所以 ∫exp(-αx)dx 可以被 1/α bound住 →0 09/06 22:24
→ suhorng :比較重要的是他沒給為啥α=0時F還是那個東西 09/06 22:52
→ suhorng :這不trivial. 畢竟上面積分/微分都要求α>0 09/06 22:52