Re: [中學] 資優班幾何試題

[theperfect (隨～～便啦)]

最近有點閒加上看到這題蠻有趣的就稍為想一下=3=

http://ppt.cc/PPfM
幫原po把圖轉正，參考附圖右邊的圖。

在滑動過程的任一瞬間，
由 角POQ = 角PAQ = 90度 可知 O、P、Q、A 四點共圓，
故 角POA = 角PQA = 60度，
也就是說整個過程 A 點一直保持在過 O 點且與正 x 軸夾正60度角的射線上(稱為 L)。

簡單觀察可知：
A 的起點在 L 上距離 O 6*sqrt(3) 公分的地方(稱 A0)，
    終點在 L 上距離 O 6 公分的地方(稱 A1)。

但是要注意 A 並不是直接從 A0 走向 A1。
事實上它是從 A0 先往遠離 A1 的方向走一小段再折返走向 A1。

要觀察出以上事情應該有很多看法，以下提供一種我自己的看法：
由於我們知道對同樣大小的圓來說，離圓心越遠的弦越短，離圓心越近的弦越長。
在滑動的過程，O、P、Q、A 四點共圓，且圓的大小保持不變，圓心為 S，
S 一開始在弦 OA 的左邊，然後 S 和弦 OA 越來越靠近。
當 S 碰到 OA (此時 OA 為直徑，長為 12 公分)後，
S 又變成在 OA 的右邊，然後越來越遠。
當然整個過程 A 都在射線 L 上。

以上觀察可知 OA 先從 6*sqrt(3) 公分慢慢變長成 12 公分，再慢慢變短成 6 公分。
故路徑長應為
        (12 - 6*sqrt(3)) + (12 - 6) = 18 - 6*sqrt(3) (公分)。


有錯請指正

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.38.247.220
→ Honor1984   :確定A點在直線後 相對A點靜止 O就是等於從P沿著半圓
→ Honor1984   :滑到Q 直徑是OA弦能達到最長的距離
推 dayjay      :講解得非常清楚  感謝!!
推 jetzake     :...等等 這路徑順序和長度沒有直接關係啊
→ jetzake     :同樣的定點通過順序 走圓弧和走直線就一整個不一樣
→ jetzake     :更不要說還有無限多種迂迴曲線通過方式
→ jetzake     :保險點的作法 不是積分就是求出軌跡方程式再推算長度
→ jetzake     :不然任意多個定點 都有無限種通過軌跡的方式啊
已知 A 完全在 L 上了，這種情況當然 OA 的長度變化已足以完整描述 A 的軌跡。
推 destinycode :因O,P,Q,A四點共圓
→ destinycode :又 角QOA所對的圓弧與角QPA所對的圓弧同樣是圓弧QA
→ destinycode :所以角QOA=角QPA=60度 為定值
→ destinycode :因角QOA=60度 為定值 所以A點軌跡必在y = √3 x上 沒
→ destinycode :錯吧
推 destinycode :QQ 我好像就把原PO的第一段再打一次而已嘛......
→ destinycode :角QOA=角QPA=30度才對 鬼遮眼打錯 歹勢歹勢
※ 編輯: theperfect      來自: 114.38.247.220       (09/20 17:30)
→ sneak       : 同樣的定點通過順序 走 https://daxiv.com
→ muxiv       : 確定A點在直線後 相對 http://yaxiv.com