推 yyc2008 :推 09/24 10:08
推 qscg222 : 推！有收穫！ 02/07 11:23
前面已經有答案了，不過因為之前做過一個對任意方陣的筆記整理，
就貼一下 也許對有些人有幫助：
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若方陣 M 可逆，則存在唯一的 M" 使得 MM" = M"M = I。
稱 M" 為 M 的 inverse。
我們可以更仔細定義矩陣的 left inverse (左逆) 跟 right inverse (右逆)
假設兩者都存在，稱左逆為L，右逆為R，那顯而易見 L=R: 因為 LMR = L(I) = (I)R
比較深度的問題是，為什麼左逆存在時，右逆一定存在呢? (反之亦然)
這個問題看似普通，但其實可以從更基礎的角度理解，
也就是探討 nxm 矩陣的左逆和右逆 (當n不等於m時，兩者不一定會相等)
對於非方陣的矩陣，要找出左逆跟右逆需要一些理論基礎。
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定理1 (左逆性質):
若 A 是 nxm 矩陣，以下條件等價
(i) 存在 L 為 mxn 矩陣，滿足 LA = I (I 為 mxm 矩陣)
(ii) A 是 1-1，也就是 A 的 nullspace 只有 {0}
(iii) A*A 為正定矩陣
(iv) 對任意向量b，最多只有一個x 滿足 Ax=b
定理2 (右逆性質):
若 A 是 nxm 矩陣，以下條件等價
(i) 存在 R 為 mxn 矩陣，滿足 AR = I (I 為 nxn 矩陣)
(ii) A 是 onto，也就是 range(A) 包括整個 Ｃ^m 空間
(iii) AA* 為正定矩陣
(iv) 對任意向量b，至少有一個x 滿足 Ax=b
定理3 (方陣性質):
若 A 是 nxn 矩陣，則左逆存在 <=> 右逆存在。
左逆和右逆相等且唯一，稱作 A"。
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定理1的證明：
(i) => (ii): 若 Ax=0 且存在 LA=I，則 x = LAx = L(0) = 0，因此 x 必為 0
(ii) => (iii): 若 null(A) = 0，
則 x*A*Ax = |Ax|^2 >= 0 的等號只有 x=0 時才成立，故 A*A 正定
(iii) => (i): 因為 A*A 可逆，[(AA*)"A*] A = I，所以 A 有左逆。
(ii) <=> (iv): 略。
定理2的證明:
(i) => (ii): 對任意向量b屬於Ｃ^m，欲找出 x 滿足 Ax = b
因為有 AR = I，可令 x = Rb，則 A(Rb) = b 是一個解。
(ii) => (iii): 這需要用到下列引理：
引理：A 的 column space ，和 A* 的 nullspace 彼此為正交子空間。
證明: 若存在u,v，滿足 Ax=u, A*v=0，
則 (v*)u = v*(Ax) = (A*v)*x = (0*)x = 0，因此 u,v 正交。
由此可知，因為 A 為 onto，則 null(A*)=0，
x*AA*x = |(A*x)|^2 >= 0 的等號只有 x=0 時成立，所以 AA* 正定。
(iii) => (i): 因為 AA* 可逆，A [A*(AA*)"] = I，所以 A 有右逆。
(ii) <=> (iv): 略。
定理3的證明: 這要用到很基本的線代性質： rank(A) = rank(A*)
對於 nxn 方陣A ，如果左逆存在，則A為 1-1，
由證明2中的引理，A* 是 onto
又因為 rank(A) = rank(A*)，而且A是方陣，可知A也是 onto，
因此由定理2， A 也存在右逆。
類似的方式可以證明，對於方陣A，如果右逆存在，那麼左逆也存在。
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~因為生活已經太複雜了
所以就讓我們的愛情單純吧~
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