[幾何] 高中三角函數

[alamabarry (.............)]

在一題高中考題多選題中

以下條件是否可存在一個三角形ABC

sinA+sinB+sinC=1



想法1

sinA=a/2R  可得

a+b+c=2R   即

a+b+c
------ =R   但不知如何判別三角形是否存在
  2


想法2

A+B+C=180 即 C=180-(A+B) 帶入可得

sinA+sinB+sin(A+B)=1

sinA+sinB+sinA*cosB+cosA*sinB=1


想法3

令角C=150度 則 A+B=30度

sinA+sinB+sin(150)=1

sinA+sin(30-A)+1/2=1

sinA+1/2*cosA-3^0.5/2*sinA=1/2

(2-3^0.5)sinA+cosA=1

-1.XXX<(2-3^0.5)sinA+cosA<(4+3-4*3^0.5+1)^0.5=1.XXX

所以有存在三角形

但是不漂亮

請問有比較好的解法嗎?




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.33.6.152
→ FAlin       :0 < sinA+sinB+sinC <= 3sin[(A+B+C)/3] = 3√3/2
→ FAlin       :中間用到sin在0~180的凸性
→ wayn2008    :想法1  只要在圓內找周長=直徑就好了吧
推 amozartea   :算幾不等式，等號成立在正三角形．
推 amozartea   :這題是好題目．
推 amozartea   :奇怪我好像錯了...'
推 amozartea   :我錯了不要理我XD