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作者pigheadthree (爬山)
看板Math
標題[微積] 2階ODE-未定係數解(特殊題目)
時間Fri Sep 27 19:33:32 2013
題目：y"-3y'+2y = 8x^2 - 2x^(e^x) 這是小弟的筆記上的題目，沒有答案，以下為小弟的解法， 不知道計算過程是否有問題，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！ 設 y = ax^2 + bx + c y'= 2ax + b y''= 2a (2a)x^2 -3*(2a+b)x + (ax^2 + bx +c) = 8x^2 - 2x^(e^x) 2ax^2 - 6ax^2 - 3bx + ax^2 + bx + c - 8x^2 + 2x^(e^x) = 0 (-3a-8)x^2 - 2bx + c + 2x^(e^x) = 0 a = - (8/3) b = 0 c = 0 -(8/3)x^2 + 2x^(e^x) = 0 ------------------------------------------------------------------------------ 常係數計算： 設 x^2 - 3x + 2 = 0 (x-1)*(x-2) = 0 x = 1 or 2 常係數：φ1 = e^x 與 φ2 = e^2x 所以方程解為：y = -(8/3)x^2 + 2x^(e^x) + c1*e^x + c2*e^2x (通解) -------------------------------------------------- ↑ 這是小弟計算最後的答案，不知道是否有問題？ 麻煩不吝嗇指導，謝謝！ -- 水無常態，兵無常勢。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.35.30.78
推 destinycode :如果題目是y"-3y'+2y=8x^2 - 2x^e^x 09/27 21:06
→ wohtp :x^(e^x)？？？ 09/27 21:06
→ destinycode :則解答為y=c1*e^x+c2*e^2x+4x^2+12x+14 09/27 21:06
→ destinycode :+2e^x[S (x^e^x)*(e^-x) dx]-2e^2x[S (x^e^x)*(e^-2x 09/27 21:07
→ destinycode :) dx] 09/27 21:07
→ destinycode :其中S微積分符號 中括號裡面我積不出來 09/27 21:07
→ destinycode :如果題目是y"-3y'+2y=8x^2 - 2xe^x 09/27 21:07
→ destinycode :則解答為y=c1*e^x+c2*e^2x+4x^2+12x+14+(x^2+2x)e^x 09/27 21:07
不好意思，可以請教您的計算方式嗎？ y = c1*e^x + c2*e^2x + 4x^2 + 12x + 14 + 2e^x[∫(x^e^x)*(e^-x) dx] - 2e^2x[∫(x^e^x)*(e^-2x) dx] 以上式子怎麼出來的？ ※ 編輯: pigheadthree 來自: 114.35.30.78 (09/27 21:21)
→ wohtp :d大，我算出來的常數項是16 09/27 21:27
→ BLUEBL00D :這個ID只要笑就好了 09/27 22:29
→ destinycode :Y=Yh+Yp Yh=c1*e^x+c2*e^2x <-這個你會做 09/27 22:58
→ destinycode :Yp"-3Yp'+2Yp=8x^2 - 2x^e^x 09/27 22:58
→ destinycode :如果題目無誤 取Yp=Yp1+Yp2 其中 09/27 22:58
→ destinycode :Yp1"-3Yp1'+2Yp1=8x^2 - (1);Yp2"-3Yp2'+2Yp2= - (2) 09/27 22:59
→ destinycode :(1)式使用undetermined coefficients求解 09/27 22:59
→ destinycode :(2)式使用variation of parameters求解 09/27 22:59
→ Honinbo2007 :x^e^x 最好是可以積...沒有人想糾正了嗎 09/27 23:32
→ Honinbo2007 :另外有e^x部分存在，待定係數又直接無視很誇張 09/27 23:34
→ destinycode :對不起漏打了一點點 Yp2"-3Yp2'+2Yp2= - 2x^e^x -(2) 09/27 23:40
→ destinycode :回H大就是因為積不出來所以我才把它表示成積分的形式 09/27 23:40
→ destinycode :其實我覺得題目抄錯的可能性比較大 09/27 23:41
→ Honinbo2007 :欸我推文不是說你XDD 09/27 23:53
不好意思，題目打錯了，為2階ODE，已作修正。 ※ 編輯: pigheadthree 來自: 114.35.30.78 (09/28 19:38)
→ sneak : Yp1"-3Yp1'+ https://noxiv.com 01/02 15:32
→ muxiv : 其實我覺得題目抄錯的可 https://moxox.com 07/07 11:28