作者Heaviside (Oliver)
看板Math
標題Re: [微積] 2階ODE-未定係數解(特殊題目)
時間Sat Sep 28 15:41:39 2013
※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: 題目：y""-3y'+2y = 8x^2 - 2x^(e^x)
: 這是小弟的筆記上的題目，沒有答案，以下為小弟的解法，
: 不知道計算過程是否有問題，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！
原文43
話說 到底是四階ODE 還是二階ODE呀.....
----
y"-3y'+2y=8x^2-2x^(e^x)
由觀察法得y_h=C1exp(2x)+C2exp(x)
令y_p=ψ1(x)y1(x)+ψ2(x)y2(x)
y_p'=ψ1(x)y'1(x)+ψ2(x)y'2(x)+ψ'1(x)y1(x)+ψ'2(x)y2(x)
令ψ'1(x)y1(x)+ψ'2(x)y2(x)=0
y_p"=ψ1(x)y"1(x)+ψ2(x)y"2(x)+ψ'1(x)y'1(x)+ψ'2(x)y'2(x)
將y_p、y_p'、y_p"代回得
[ψ1(x)y"1(x)+ψ2(x)y"2(x)+ψ'1(x)y'1(x)+ψ'2(x)y'2(x)]
-3[ψ1(x)y'1(x)+ψ2(x)y'2(x)]+2[ψ1(x)y1(x)+ψ2(x)y2(x)]=8x^2-2x^(e^x)
超煩 另解
使用Heaviside求解法
d
let D= ──
dx
原式=>(D-2)(D-1)y= 8x^2 - 2x^(e^x)
y_h=C1exp(2x)+C2exp(x)
1
y_p= ───── [ 8x^2 - 2x^(e^x)]=y_p1-y_p2
(D-2)(D-1)
1
y_p1= ─────(8x^2)=(0.5+0.75D+0.875D^2+...)(8x^2)
D^2-3D+2
=4x^2 +6x+7
1 1 1
y_p2 = ───── [2x^(e^x)]=[─── - ───][2x^(e^x)]
(D-2)(D-1) D-2 D-1
=exp(2x)∫exp(-2x)[2x^(e^x)]dx - exp(x)∫exp(-x)][2x^(e^x)]dx
因y_p2無法積分 丟在那裡就好
得解y=y_h+y_p
-----
若題目改為 y"-3y'+2y = 8x^2 - 2x(e^x)
則y_p2 =exp(2x)∫exp(-2x)[2x*(e^x)]dx - exp(x)∫exp(-x)][2x*(e^x)]dx
=exp(x)[-x^2-2x-1]
得解y=y_h+y_p = C1exp(2x)+C2exp(x)+4x^2 +6x+7+exp(x)[x^2+2x]為解
強烈懷疑原PO抄錯題目了@@
--
Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.185.134.5
→ LPH66 :問問題的是那人所以不意外 ( ′_ゝ`) 09/28 15:43
→ Heaviside :我解完抬頭看ID才發現............ 09/28 17:01
推 wohtp :找operator inverse這招讚，筆記筆記 XD 09/28 20:55
全名叫做 Heaviside 逆運算子求解法
適用於所有可積分之特解
是很好用的一種求解法
→ pigheadthree:不好意思，小弟實在看不懂你在寫甚麼？抱歉！ 09/28 21:38
→ pigheadthree:可以請教你，你第一個解法的名稱嗎？ 09/28 21:39
Lagrange參數變異法(Variation Parameter)
→ pigheadthree:看不懂，小弟的功力還不夠，。 09/28 22:03
待定係數法跟參數變異法
是最基本的兩種作法
看不懂 可能要回去翻一下課本了
→ wohtp :不是需要 D^n = 0 for all sufficiently large n嗎？ 09/28 22:14
→ wohtp :如果那個級數有無限多項你要怎麼加回去？ 09/28 22:14
哪一個級數無限多項？
※ 編輯: Heaviside 來自: 111.185.134.5 (09/28 22:24)
→ wohtp :1/(D^2 - 3D + 2) 這個級數展開啊 09/28 23:11
推 Honinbo2007 :他只有8x^2 阿，所以 D^3 以後的項次用不到 09/29 00:52
→ wohtp :就是我說的，D^n = 0 for sufficiently large n 嘛 09/29 03:13
→ wohtp :沒有這個就很難用了 09/29 03:14