※ 引述《agnes12 (agnes)》之銘言：
: 朋友問了一題積分 但實在沒什麼頭緒...
: 想麻煩大家幫個忙....
: ∫(sin t)^3 / [(sin t)^3+ (cos t)^3 ] dt
: 謝謝~~
(sin t)^3
∫─────────── dt
(sint)^3 + (cos t)^3
(csc t)^2
= ∫ ──────────────── dt ∵ (csc t)^2 =1 +(cot t)^2
(csc t)^2 + (cot t)^3 (csc t)^2
(csc t)^2
= ∫ ────────────────── dt let u=cot(t), du= -csc(t)^2
1+(cot t)^2 + (cot t)^3 + (cot t)^5
-1
= ∫─────── du
u^5+u^3+u^2+1
1
= -∫─────────── du
(u+1)(u^2 +1)(u^2-u+1)
1 u+1 1 2u-1 1 1
= -──∫ ──── du + ── ∫────── du - ── ∫── du
2 u^2+1 3 u^2-u+1 6 u+1
1 1 1
=- ── ln│u^2 +1│ -0.5arctan(u) + ── ln │u^2-u+1│ - ── ln │u+1│ +c
4 3 6
1
= -0.25 ln│cot(t)^2 +1│ -0.5arctan[cot(t)] + ── ln│cot(t)^2 -cot(t)+1│
3
1
- ── ln│cot(t) +1│ +c
6
1
= -0.25 ln│csc(t)^2│ -0.5arctan[cot(t)] + ── ln│csc(t)^2 -cot(t)│
3
1
-── ln│cot(t)+1│ +c
6
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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
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