Re: [中學] 比較10^9和9^10大小

[ssss50201 (ssss)]

※ 引述《wohtp (會喵喵叫的大叔)》之銘言：
: ※ 引述《ssss50201 (ssss)》之銘言：
: : 要怎麼有效率地比較類似10^9和9^10, 13^11, 11^13這類的數字呢？
: 設 b > a > 0，且  (b - a) << a，比較 b^a 和 a^b 的大小。
: 先改寫    b^a = exp[a log b],    a^b = exp[b log a]
: 所以問題變成比較 a log b 和 b log a。
: 令 b = a(1+x)，則有 0 < x << 1。
: 再來就是用 a 和 x 代入 b，然後對 x 作展開。
: a log b  =  a log[ a(1 + x) ]
:          =  a log a  +  a log(1 + x)
:          =  a log a  +  a ( x + ... )
: b log a  =  a (1 + x) log a
:          =  a log a  +  x a log a
: 誰比較大？
: a log b - b log a  =  a (1 - log a) x  +  ...
: 當 x 夠小的時候，看第一項就好了。
: 回家功課：
:  1. 算出第一項的正負號
:  2. 第二項什麼時候會跟第一項差不多大？
: 　　也就是說，這方法什麼時候不準？
第一項 a(1 - log a)x中，a>0, x>0
第一項>0 if a<e,
第一項<0 if a>e.
第一項=0 if a=e

第二項是-(a/2)x^2, 如果a和x很小，第一項就會和第二項差不多大？

這樣子理解正確嗎？謝謝~~

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◆ From: 69.143.92.162
→ wohtp       :1. 對了
→ wohtp       :2. 當 x 很小的時候，x^2更小啊，怎麼會一樣大？
→ wohtp       :泰勒級數什麼時候可以只取首項放掉其他？
→ ssss50201   :當其他項相對第一項很小就可以把後面丟掉~~