Re: [幾何] 求三角形面積比

[LPH66 (f0VMRgEBA)]

※ 引述《emi921223 (外頭有人在哭喊)》之銘言：
: 如圖，欲求小三角形(斜線處)的面積：大三角形的面積。
: (圖上的數字皆為比例，非長度；另，此題完全沒有給任何邊長或角度，這張圖就是題目的全部...)
: 一開始試過用比例解...無疾而終，因為有7塊小三角形，但只有6條比例式Orz
: 再來有試過用"海龍公式"解，但後來赫然發現圖上的數字是比例不是邊長Orz
: 後來試著用"孟式定理"解題，但是解到一半我就卡住了...
: 另外，我們解出數個答案Orz(1/8,1/7,1/12)
: 跪求各位高手解題~~~
給每個點名字比較好討論

http://w.csie.org/~b94102/math/Math64.png

重覆運用孟氏定理

F-H-C 切 △ABE 得 (AF/FB)*(BH/HE)*(EC/CA) = 1
                   (4/3) *(BH/HE)* (3/5)  = 1
                           BH/HE          = 5/4

D-G-A 切 △CBE 得 (CD/DB)*(BG/GE)*(EA/AC) = 1
                   (1/5) *(BG/GE)* (2/5)  = 1
                           BG/GE          = 25/2

於是可得 BH:HG:GE = 15:10:2

類似地

E-H-B 切 △ACF 得 (AE/EC)*(CH/HF)*(FB/BA) = 1
                   (2/3) *(CH/HF)* (3/7)  = 1
                           CH/HF          = 7/2

D-K-A 切 △BCF 得 (BD/DC)*(CK/KF)*(FA/AB) = 1
                   (5/1) *(CK/KF)* (4/7)  = 1
                           CK/KF          = 7/20

於是可得 CK:KH:HF = 7:14:6

這樣一來

△HGK = (HG/HE)(HK/HC)△HEC
      = (10/12)(14/21)△HEC
      = (5/9)△HEC
      = (5/9)[(CH/CF)(CE/CA)△CAF]
      = (5/9)[(7/9)(3/5)△CAF]
      = (7/27)△CAF
      = (7/27)[(AF/AB)△ABC]
      = (7/27)[(4/7)△ABC]
      = (4/27)△ABC

所求即為 4 : 27 #

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.37.136
→ LPH66       :補充: 其實孟氏定理在這圖中還有另兩個位置沒用到
→ LPH66       :這兩組可以求得 AG:GK:KD 一樣可以求得答案
→ LPH66       :使用孟氏定理的重點就是線跟三角形的頂點不要重合
→ LPH66       :這樣中間的三條線AD BE CF就各只有兩個三角形可以配
→ LPH66       :一共六種組合就能交叉解出中間的線段比
推 wayn2008    :偷懶一點的方法  CK : FK = AB*CD : BD*AF
→ wayn2008    :高中補習班老師教的@@ 不過還是用這篇比較正式QQ
→ wayn2008    :結果好像只是移項而已orz~~從來沒注意過孟式=.=
→ callmedance :高中的解法會用向量吧  FKC  BGE  三點共線去解比例
→ callmedance :算起來可能會快一點點  不過我比較喜歡國中的方法
→ callmedance :高中方法通常都代數化  有時候比較沒感覺
→ wayn2008    :其實用孟式會比三點共線快很多..但課本沒教
推 emi921223   :C大可以請問國中的方法是什麼方法嗎@@
→ emi921223   :另外請問要如何利用三點共線或比例線段求解...？
→ emi921223   :我是直接假設另外6塊的面積為a~f但是這樣好似無法解.
→ emi921223   :W大我會想到孟式是因為以前老師有提過..但我覺得孟
推 emi921223   :而且用孟式的缺點就是不理解孟式的人就無法理解解法
→ wayn2008    :我補習班老師那樣教後..我三點共線其實也都這樣算XD
→ wayn2008    :幾乎可以10秒內解題=.= 但我也是會用三點共線驗證
(刪除過去的廣告推文)
※ 編輯: LPH66 (123.194.180.251 臺灣), 06/16/2022 20:46:46