※ 引述《xavier13540 (公式)》之銘言：
: 給定一個數列{a }，設數列 b = p*a + q*a 收斂，證明若 |p| < q，則{a }必收斂。
: n n n n+1 n
: 我一開始的做法是設數列{b }的極限為 L，寫出極限定義看能不能證{a }是柯西數列，但
: n n
: 是做不出來。
: 我也試過把 a 寫成 a 和 b , b , b , ...的形式，也失敗了。
: n 1 1 2 3
: 請問這題還有什麼方法可以證明{a }收斂呢？
: n
你試得方法是對的，我把q除過去，相當於證明下面這件事：
b_n = p*a_n + a_(n+1) , │p│< 1
試證：如果b_n收斂，則a_n收斂
<idea> 我看到│p│< 1,又隨手寫了幾項，把a_n寫成全部都是b_m的形式時，幾何級數！
n
<pf> a_(n+1) = (-p)^n * a_1 + Σ (-p)^(n-i) * b_i
i=1
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↓ ↓
極限是0 (●)
想證(●)絕對收斂，則(●)收斂，因此a_(n+1)收斂！以下證明(●)絕對收斂
n
令s_n = Σ │p│^(n-i) * │b_i│
i=1
因為b_i收斂，所以 │b_i│< 1 + │L│, for all i>=N
(詳細：令極限值是L，取epsilon=1, 存在N, 使得...... )
│p│^(n-i) * │b_i│ < (1 + │L│) * │p│^(n-i) , for all i>=N
比較原理，右邊因為幾何級數而收斂，所以左邊級數收斂, done
n n
(要驗證：Σ (1 + │L│) * │p│^(n-i) = Σ(1 + │L│) * │p│^(i-1), trivial)
i=N i=N
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