Re: [微積] 證明極限存在的邏輯問題

[cacud (追逐著最初的夢)]

※ 引述《like176 ()》之銘言：
: 為了方便起見，以下的極限均為x→c
: 題目
: 若 lim f(x)=L≠0 且 lim[f(x)g(x)]=1
: 請問lim g(x)是否存在?
: Sol
: 設lim g(x)=M 存在
這句就證明錯誤了，如同前面大大推文所言，後面都不用看了。
因為人家就是要你去證明 "lim g(x) 存在" 這件事。
其他都沒得商量。
: 則lim[f(x)g(x)]=limf(x)*limg(x)=L*M=1
: 所以limg(x)=1/L 存在
: 這樣的證明在邏輯上會不會有問題?
: 我總覺得假設它存在，然後用它存在的性質證明出它存在會怪怪的?!
: 但是又發現很多題目常常利用這樣的方法去求答案。
: 例如
: f(x)={Ax ,for x<1
:      {x^2,for x≧1
: find the value A s.t. f(x) is continuous at 1
這題你不知道f是連續或不是連續，這要視A的值而定，
他也沒有要你證明f是連續或不是連續。
那要如何求A? 就是假設f連續情況之下，討論出A的值，
這也就是得到"當A=1的時候，f這時候會是連續"的結論。
這就是題目要的。所以我才說題目本身就隱含著假設f是連續，是這意思。
不是說他天生就連續，而是我們關心或好奇，當他連續的時候，A的值為何?
反過來說，就是問 "A值要多少時，f會連續？"
因為 A=1 <=> f連續
(<=)：這個部分就是你寫的
(=>)：這個部分，則是可以驗證的。
: Sol
: since f is continuous at 1
: lim f(x)=A=1=f(1)
: x→1-
: hence A=1
: 希望版上的大大可以告訴我，證明存在性的時候是否可以直接假設它存在?
不行

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◆ From: 1.175.36.35
推 like176     :了解，所以很多時候沒做驗證是因為推論的過程是<=>
→ like176     :但也有推論過程不是<=>，這時候就要驗證才是完整的
→ like176     :c大是這個意思嗎?!@@
→ cacud       :像是解方程式，當題目說找出x滿足x^2 - 3x + 2 = 0
→ cacud       :解法是假設x存在，接著解出x=1,2
→ cacud       :但人家是問說找出x，其實他也不知道存不存在
→ cacud       :所以要完成最後步驟，就是完成驗算
→ cacud       :不過中學時，似乎比較少這樣要求