[分析] Inverse Function Theorem題目

[zako1113 (那個人)]

Let f: R^n → R^n be of class C^1.

Suppose that there is a number c > 0 such that

| f(x) - f(y) | >= c|x - y| for all x,y in R^n.

Show that f is 1-to-1, Jf(x)≠0 for all x in R^n, and f(R^n)=R^n.



只會證明f是1-to-1的

還有每個partial derivative都非0

但之後要怎麼下手就不會了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 143.89.229.166
→ njru81l     :去說明 Range 既open又close且connected
推 redo        :http://calculus.dkd.tw/demo/?q=node/13
→ zako1113    :謝謝指教 我再想一下
→ znmkhxrw    :我叫那個關鍵條件"│f(x)-f(y)│...."為◎
→ znmkhxrw    :(1) 1-1用◎即可 (2)寫出微分定義 反證法 用◎即可
→ znmkhxrw    :(3)因為R^n是連通集 所以只要證f(R^n)既開且閉即可
→ znmkhxrw    :開：反函數定理 Jf(x)=/=0 for all x，所以是開映射
→ znmkhxrw    :閉：直證,令L是Imf的一個聚點，想要證L=f(a) some a
→ znmkhxrw    :根據定義，你會找到f(x_n)收斂到L
→ znmkhxrw    :注意到f(x_n)收斂 所以是歌西列，所以用◎的話
→ znmkhxrw    :你會得到x_n也是歌西列，最後因為R^n有Bolzano可用
→ znmkhxrw    :所以歌西列→有界→存在收斂子列 done
→ sneak       : 閉：直證,令L是Imf https://noxiv.com
→ muxiv       : 我叫那個關鍵條件"│f https://noxiv.com