Re: [工數] 傅立葉轉換

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

※ 引述《gj942l41l4 (魯魯)》之銘言：
: * 以下的F{}表傅立葉轉換
: 題目：求 F{e^iax}
: 答案是 2π*δ(ω-a)
: 書上用的方法是利用
:         ^          ^
: F{f(x)}=f(ω) => F{f(x)}=2πf(-ω) 的性質
: 先求 F{δ(x-a)} = e^(-iaω)
: 故 F{e^(iax)} = 2πδ(ω-a)
: 看起來一切合理，可是為何我用定義去做，卻做不出來呢?
: 這樣我有點難以接受啊= =
: 有沒有人可以說服我為什麼會發生這種事~~~

你需要

  +∞
 S    dx exp[-i (w-a) x]
  -∞

這個積分。

但是你拿去數學系問，每個人都會告訴你這積分不存在。




事實上，數學上δ-function作為「函數」是不可能存在的。什麼只有在一
點無限大，其他點都是零，積分出來卻不是零這樣的性質，要是容許這樣的
函數存在，很多東西都會壞掉。

（但是搞數學的人為了補洞發展出來的「廣義函數」這套東西太麻煩，工程
和科學幾乎沒人用。）

所以，如果關於δ-function的性質有什麼看起來不太對勁的地方，請記得這
東西本身就已經是「不對」的了。




說了這麼多以後，我們來積這個積分吧。

首先我們來看週期 L 的週期性函數的 Fourier series。



令 f(x) = exp(ikx)， k 的值使得 f(x + L) = f(x)，則

 ~       +L/2
 f_q  = S      dx  exp(-iqx) f(x)
         -L/2

（當然，q 的值也必須是 2 pi/ L 的倍數這樣。）

       ~
（注意 f 和一般的定義差了一個 1/L。我想讓這個積分看起來像 Fourier transform。）




這個積分就可以做了，算出來是

 ~
 f_q  =    L   if  k = q     =  Lδ_(k,q)
           0   otherwise


（Kronecker-δ這東西就是一和零嘛，數學上絕對沒有問題。）




下一步當然就是取 L --> ∞ 的極限了。

這裡我要反過來看，從對 q 的積分開始，然後把積分寫成 Riemann sum：


 dq --> 2π/ L   （兩個 q 值之間的差）


　+∞                   +∞
 S    dq  --> ( 2π/ L ) Σ       (Riemann sum)
  -∞                  n = -∞


所以：

 δ(q - k) --> ( L / 2π) δ_(q,k)





通通放在一起：

       +L/2
 lim  S     dx exp[-i (w-a) x]  =  lim  L δ_(w,a)  = 2πδ(w-a)
L->∞  -L/2


這就是你要的答案。





再次重申：照著Fourier transform定義直接寫下來的那個積分嚴格來說沒有
意義、不存在。當然微積分也不會教你怎麼積。

要讓那個積分積得出來，就得要偷渡一點本來沒有的東西進去。





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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.110.184.241
推 gj942l41l4  :抱歉，不太懂δ(q - k) --> ( L / 2π) δ_(q,k)這行
→ gj942l41l4  :是從哪裡出來的 @@
 +∞
S    dq f(q) δ(q - k)  =  f(k)
 -∞



把這個對應到取極限之前，假如 δ(q - k) 是對應某個 c_(q, k)，則

           +∞
 ( 2π/ L ) Σ   f_q  c_(q, k)  =  f_k
          n = -∞


那你說這個 c_(q, k) 應該是什麼？





我發現我沒把delta-function的麻煩表達得很好。所以再來一次。


f(x) = 1/(1-x) 在 x = 1 是什麼？

g(x) = tan x   在 x = π/ 2 是什麼？


當我給你一個函數，在某個點上的「函數值」是無限大...嗯哼，這樣真的可以嗎？



當然這跟函數的定義有關。f 和 g 的值域也可以在 {R + ∞} 上面...
不過你還是得問，你正在處理的問題有沒有這種好康的？

→ WINDHEAD    :數學系的說話方法是「在某個前提下，積分不存在」
→ WINDHEAD    :或是「在某個意義下，積分存在」。數學系只是比較
→ WINDHEAD    :在乎「那個前提怎麼保證邏輯上可以做到想做的事」
我同意。

但是我在這裡也的確偷渡了一些本來定義裡面沒有講，一般也不會認為理所當
然不用說的東西進去不是嗎？

一般工數跟嚴謹數學的差別就在於有沒有偷渡客，不知您以為然否？


→ WINDHEAD    :廣義函數不只是補洞而已
我聽說的是，一個很重要的動機是要把 Dirac delta-function 和他愉快的
夥伴們好好講清楚。絕對沒有說把洞補完就停了的意思。

※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.184.241      (10/18 02:03)
→ WINDHEAD    :在描述波前，奇異點傳播的時候都是很重要的背景工具
→ WINDHEAD    :也可以應用在GPS信號的演算法上
※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.184.241      (10/18 02:04)
推 gj942l41l4  :大致看懂了@@  感謝你