推 gj942l41l4 :是這樣沒錯 但在解特徵值問題 還是得討論a,b的實虛 10/19 00:32
※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 我在做這類題目時
: 例如
: y" + 入y = 0
: 題目會把"入"分成 正,負,零,來討論
: 入 < 0 時 , 會令 入 = -p^2 (0 < p < 無限)
: .
: .
: .
: 如果有特徵值時
: 會得出 p = ...
: => 入 = p^2
: y(x) = ...
: 我的問題是
: y(x)會用到p來表示
: 如果限制p>0,那會不會少了甚麼
我都沒在管 λ 的正負
反正只要特徵多項式的兩根是 a,b
解就是 c1 e^{ax} + c2 e^{bx}
若為重根 a，解就是 c1 e^{ax} + c2 x e^{ax}
例如 y"-4y=0 ，特徵多項式的兩根是 2 ,-2
解是 y = c1 e^{2x} + c2 e^{-2x}
y"+4y=0 ，特徵多項式兩根是 2i , -2i
解是 y = c1 e^{2ix} + c2 e^{-2ix}
這些解都是 R to C 的函數， c1,c2 也都是複數
如果你處理的問題使你只想看到 R to R 的函數
再用 尤拉公式 e^{ix} = cosx + isinx
把複數解基 { e^{2ix} , e^{-2ix} }
改為實解基 {cos2x , sin2x}
因為 cos2x 與 sin2x 都是 e^{2ix} 與 e^{-2ix} 的線性組合，而且線性獨立
e^{2ix} + e^{-2ix}
cos2x = ---------------------
2
e^{2ix} - e^{-2ix}
sin2x = ---------------------
2i
故 y = c3 cos2x + c4 sin2x
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.39.152.34