[分析] PDE的解為何可以做變數分離這個假設?

[changifeng (宅心仍厚)]

一般在解PDE

無論是Possion eq.、Wave eq.或是Heat eq.

都會將PDE的解做一個變數分離的假設: f(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)或是f(x,t)=X(x)T(t)

但是從來都不知道為何可以做這種假設?

我是有給自己一個解釋就是:

PDE的解只要滿足我給定的邊界條件和初始條件

我就可以使用這個假設

但是這個解釋不嚴謹而且似乎邏輯上反過來了...= ="

有沒有定理是在講使用變數分離法這個假設的合法性?

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◆ From: 58.115.108.41
推 recorriendo :做分離變數只是求出一組最基本的解 這些解可以疊加造
→ recorriendo :出不可分離變數的解
→ microball   :嘖嘖 以前我也問過這個問題XD
→ microball   :比較有系統的解釋這種方式的合法性，可以參考
→ microball   :線性算子理論中，self-adjoint compact 算子的譜定理
→ microball   :那個定理保證了所有solution都能用分離變數的那些
→ microball   :"基本的解" (或稱此算子的 eigenfunction)
→ microball   :經過疊加後建構出來