[微積] 可微分性

[nobrother (nono)]

設函數f定義為

f(x,y)={   x^2y
       { ---------  , (x,y) =/= (0,0)
       {  x^4+y^2
       {
       {     0      , (x,y) = (0,0)

討論函數在原點(0,0)之可微分性

解答說  因為極限

      lim       f(x,y)  不存在
  (x,y)-->(0,0)

我想問這邊是為什麼???


另一題則是

f(x,y)={   x^3-xy^2
       { -----------  , (x,y) =/= (0,0)
       {   x^2+y^2
       {
       {     0      , (x,y) = (0,0)

證明f在原點不可微分

解答中間有一段是在討論f在R3上連續

且所有一皆偏導數存在

最後寫

假設f在原點是為可微分,則

(Ax 的A是想表達三角形的符號,很抱歉我不會打= =)

Df(0)Ax = Df(0,0)(Ax,Ay) = Ax

且
         ||f(0+Ax)-f(0)-Df(0)Ax||         ||f(Ax,Ay)-f(0,0)-Ax||
0 = lim  ------------------------  = lim  ----------------------
    Ax->0          ||Ax||            Ax->0     (Ax^2+Ay^2)^1/2

               2|AxAy^2|
  = lim  ---------------------- 將產生矛盾
   Ax->0    (Ax^2+Ay^2)^3/2

於是函數f在原點是不可微分

這邊我也是看不懂

麻煩大家了

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◆ From: 111.253.25.201
→ nonumber    :1.試試x=a,y=a^2,a->0
→ nobrother   :喔喔喔,所以因為= 1/2 =/= 所以極限不存在嗎?