[線代] 矩陣高次方跟向量的乘積

[aegius1r (SC)]

太久沒算線代了 做考古題卡住....

原題不是這樣, 這是化簡過後要計算的:

                             102
A = [1  2  4], x = [1], 求  A   x
    [0  1  0]      [1]     (A^102*x)
    [0  1  2]      [1]

已經確認過A不能對角化

                       [1]       [4]
特徵值、特徵向量: 1 → [0]、2 → [0]
                       [0]       [1]

請大家幫忙~

(原題: http://ppt.cc/dIo4 線代部份第8題 若這題可以用其他解法求出也可, 謝謝!)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.34.78.147
→ THEJOY      :多代入幾次，會發現有規律
→ THEJOY      :只是常數項的規律很醜
我有計算過一些次方 發現有點規律 但應該有直接的計算方法去解這題?
※ 編輯: aegius1r        來自: 1.34.78.147          (10/22 01:12)
自問自答可以嗎..XD


剛剛找資料找到一種做法

A的特徵多項式是char(A)=-(t-1)^2*(t-2)

由Cayley-Hamilton定理知(A-I)^2*(A-2I)=0

考慮x^102=q(x)*(x-1)^2*(x-2)+a(x-1)^2+b(x-1)+c

代入x=1、2和微分後代入x=1

不難發現a=2^102-103、b=102、c=1

因此A^102=(2^102-103)(A-I)^2+102(A-I)+1

後續就算出(A-I)、(A-I)^2之後代入 最後再乘上向量(1 1 1)^t即可



(還是想知道其他做法XD
※ 編輯: aegius1r        來自: 1.34.78.147          (10/22 02:09)
推 alamabarry  :不能對角化 jordan form嗎?
jordan form不怎麼會做 煩請告知做法 謝謝~
※ 編輯: aegius1r        來自: 1.34.78.147          (10/22 02:40)
推 alamabarry  :自己去翻書好嗎............我又不是你的家教
...我想如果只要翻書就能解決一切問題 我們就不需要數學版了
我昨天為了這題也找過好幾種方法 包括jordan form
只是自己看實在不太懂 才會在這邊求教的
如果您不想討論可以不用推文的 謝謝.
※ 編輯: aegius1r        來自: 140.122.199.216      (10/22 14:34)
我寫一下自己遇到的困難點好了

查了資料 要找jordan form應該是要先找到generalized eigenvector


所以我先計算N((A-I)^2)=span{(1,0,0)^t,(0,1,-1)^t}

然後看起來是可以得到

    [1  0  4]      [1  1  0]
P = [0  1  0]  J = [0  1  0]  A = P J P^-1
    [0  -1 1],     [0  0  2],

只是驗算過相乘不太對

麻煩請其他熱心的板友告訴我哪裡做錯了 感謝
※ 編輯: aegius1r        來自: 140.122.199.216      (10/22 15:07)
推 alamabarry  :這不是問問題該有的態度~~我丟一個方向給你去找
→ alamabarry  :你也沒說你往這個方向走遇到什麼困難
→ alamabarry  :為何要要求別人告知你做法
您的態度好像也不是該有的態度?
如果您認為我並沒有寫出問題點 大可以直接這樣說
您的回應似乎不太禮貌

言盡與此 我不是來這邊找架吵的
我不會再對您做回應了 也請您不要回應
※ 編輯: aegius1r        來自: 1.34.78.147          (10/22 21:23)