※ 引述《aegius1r (SC)》之銘言：
: 太久沒算線代了 做考古題卡住....
: 原題不是這樣, 這是化簡過後要計算的:
: 102
: A = [1 2 4], x = [1], 求 A x
: [0 1 0] [1] (A^102*x)
: [0 1 2] [1]
: 已經確認過A不能對角化
: [1] [4]
: 特徵值、特徵向量: 1 → [0]、2 → [0]
: [0] [1]
: 請大家幫忙~
: (原題: http://ppt.cc/dIo4 線代部份第8題 若這題可以用其他解法求出也可, 謝謝!)
: → THEJOY :多代入幾次，會發現有規律 10/22 01:08
: → THEJOY :只是常數項的規律很醜 10/22 01:09
: 我有計算過一些次方 發現有點規律 但應該有直接的計算方法去解這題?
就列吧:
[1 2 4] [1 8 12] [1 22 28]
A^1 = [0 1 0], A^2 = [0 1 0 ], A^3 = [0 1 0 ]
[0 1 2] [0 3 4 ] [0 7 8 ]
[1 52 60] [1 114 124]
A^4 = [0 1 0 ], A^5 = [0 1 0 ]
[0 15 16] [0 31 32]
(計算並不繁, 因為左乘 A 等於
把第三列乘二、再把第二列加到第三列、再把第三列的兩倍加到第一列)
從這裡我們可以猜測
[1 2^{n+2}-4-2n 2^{n+2}-4] (要猜出這個型式其實需要一點觀察力就是:
A^n = [0 1 0 ] 右下是 2 的次方, 中下是右下減 1,
[0 2^n-1 2^n ] 右上是中下乘以 4, 中上是右上減去 2n)
這個結果不難用數學歸納法證明, 這裡略去 (同樣記得用左乘算比較好算)
[2^{n+3}-7-2n]
所以 A^n . [1 1 1]^T = [ 1 ]
[ 2^{n+1}-1 ]
[2^105 - 211]
代入 n = 102 即得所求為 [ 1 ]
[ 2^103 - 1 ]
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感覺這個題目的這個矩陣是設計好的...
不能對角化但有簡單的基本矩陣分解
[1 2 4] [1 0 2] [1 0 0] [1 0 0]
這題是 A = [0 1 0] = [0 1 0] [0 1 0] [0 1 0]
[0 1 2] [0 0 1] [0 1 1] [0 0 2]
由右讀到左就是剛才講的
「把第三列乘二、再把第二列加到第三列、再把第三列的兩倍加到第一列」
這些動作 所以只要猜出通式了數歸就很好證
不過即使猜不出通式 這幾個分解動作足以列出遞迴關係來解了
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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