[微積] 導函數的中間值定理(達保定理)

[nobrother (nono)]

我在網路上看到的證明

構造函数g(x)=f(x)-ηx，由於f(x)在(a,b)區間内可導，

所以f(x)在(a,b)區間内連續，由此得出g(x)在(a,b)區間内連續。

補充定義使得g(x)在x=a，x=b處連續，若g(x)在x=a（或x=b）處取得最值，

則g'(a)=f'(a)-η=0（費馬定理），f'(a)=η，這與題意f'(a)<η<f'(b)不符；

故g(x)在（a，b）區間内取得最值，
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所以必然存在ξ∈（a,b），使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（費馬定理）

，所以對於任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.證畢


我想問為什麼g(x)在(a,b)區間內一定會有極值?

例如g(x)是拋物線的某一段(不含頂點),那不就沒有極值了


另外,我還想問,我在網路上看到的有關這個定理的敘述

都是f為定義在(a,b)的連續可微函數

但是我看的書(高等微積分 李杰著),是說[a,b]

請問有甚麼差別嗎?

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◆ From: 111.253.17.123
推 jacky7987   :因為在[a,b]裡面一定有極值 可是前面說明了他不會在
→ jacky7987   :邊界發生 所以一定在內部
→ jacky7987   :如果是[a,b]內可導的話 那在邊界應該是左右導數存在
→ nobrother   :不好意思  我還是不太懂為什麼[a,b]裡面一定有極值
推 diego99     :想想看連續函數極值會發生在何處即可
→ nobrother   :我的理解是圖形如果有個像山一樣的的形狀就是有極值
→ nobrother   :這樣對嗎?
→ nobrother   :喔喔  我說的好像是相對極值 ,可是如果是一條斜率為m
→ nobrother   :的直線,(m=/=0),取一個區間(a,b),是會有極大值
→ nobrother   :但是在極值出現的地方,為分不為0???
推 LPH66       :你那狀況(端點極值)只有在 [a,b] 這種區間才有
→ LPH66       :(a,b) 不含端點所以也不會有端點極值
→ LPH66       :而這個證明把 g(x) 在 [a,b] 端點得到極值的狀況排除
→ LPH66       :所以它一定是在內部有極值  這時微分就會是 0 了
→ cacud       :李杰是補習班老師嗎!?有點印象阿
→ nobrother   :他是補習班老師  但我只有買他的書
推 jacky7987   :可以查一下極值定理
→ sneak       : 如果是[a,b]內可導 https://noxiv.com
→ muxiv       : 李杰是補習班老師嗎!? http://yofuk.com