Re: [微積]降階法求幫助

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《opl164 (opl)》之銘言：
:  http://miupix.cc/pm-Y55G7Z
: 小弟我主要是c d兩題解不出來
: 而b小題 解答說還有一解是y=c
: 可是這個解我算不出來＞＜
: 求大神幫助

(c)
                du
let u=y' , y"=u──
                dy


yy"=y^2y'+(y')^2

   du
yu── =y^2u+u^2
   dy


yudu=y^2udy+u^2dy


u(ydu-udy) =y^2udy

     u     ydu-udy
∵d(──)= ──── (母平方分之微子乘母-微母乘子)
     y        y^2

       u
uy^2d(──)=uy^2dy  同除uy^2
       y

                             dy
d(u/y)=dy => u/y =y+c => u= ── =y^2+cy
                             dx

  dy             ln│y│-ln│c1+y│
──── = dx => ──────── =x+c2 => ln│y│-ln│c1+y│=c1x+c1c2
y^2+cy                  c1

     c1exp(c1x+c1c2)
y= ─────────
    1-exp(c1x+c1c2)

最後一個積分 請自行參閱google




(d)

   du                                udu    0.5d(u^2)
u ── = 1+u^2 => udu=(1+u^2)dy => ─── = ───── =dy
   dy                               1+u^2     1+u^2

0.5ln│1+u^2│=y+c => ln│1+u^2│=2y+2c

                   => 1+u^2 =exp(2y+2c)  麻煩 另解


let p=y' , p'=y"

              dp                 dp
p'=1+p^2 => ─── = 1+p^2 => ──── = dx
              dx               1+p^2
                        dy
arctan(p)=x+c1 => p=y'= ── = tan(x+c1)
                        dx

dy=tan(x+c1)dx => y=-ln│cos(x+c1)│+c2 為解




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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.185.136.146
推 opl164      :請問一下c小題第5行怎麼變第6行
→ Heaviside   :第六行是解釋為何第五行變成第七行
推 opl164      :感謝  那邊我了解了 後面同取exp後我不知道怎麼把y整
→ opl164      :理出來
ln│y│-ln│c1+y│=c1x+c1c2

      y
ln│───│=c1x+c1c2
     c1+y


  y
─── =exp(c1x+c1c2) => y=(c1+y)exp(c1x+c1c2)
c1+y

                       y[1-exp(c1x+c1c2)]=c1exp(c1x+c1c2)

                            c1exp(c1x+c1c2)
                       y = ────────
                            1-exp(c1x+c1c2)
※ 編輯: Heaviside       來自: 1.163.93.139         (10/27 17:10)
推 nobrother   :ln│y│-ln│c1+y│= ln│y/(c1+y)│,令y/(c1+y)=A
→ nobrother   :我覺得這樣會好算一點
→ nobrother   :我好像慢了...
推 opl164      :感謝2位的解答   不過..... 解答說另有一解y=1/(c-x)
→ Heaviside   :我回家再看一下 應該是有條件漏了
推 opl164      :拍謝   後來得知y=1/(c-x)這解是錯的
→ sneak       : 我好像慢了... https://muxiv.com
→ muxiv       : 我覺得這樣會好算一點 http://yaxiv.com