Re: [微積] 極限

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 完整的第二題如下
: (為了方便,以下的lim都是lim )
:                       n->無限
: 題目:設f:(0,無限)->R為一函數,
:                    [x^1/2]
: 且滿足 0 < f(x) < ---------  , for all x > 0
:          =      =    x+1
: 取數列{a_n}
: 滿足a_n = {(1+f(1))(1+f(2))...(1+f(n))}^1/n  ,for all n > 0
:                                                         =
: 試求極限 lim a_n .
: 解答:因為
: lim a_n = exp{lim(1/n){ln(1+f(1))+ln(1+f(2))+...+ln(1+f(n))}}
: 但是
:              [n^1/2]
:  0 < f(n) < --------- -> 0 n->無限
:    =      =   n+1
: 故可得
: limln(1+f(n)) = 0
: 所以

上面的極限只保證exponent級數可能存在而已
怎麼可能直接推到exponent = 0
你一定沒有全部照實打出來

: lim a_n = 1

(1/n){ln(1+f(1))+ln(1+f(2))+...+ln(1+f(n))}的下界很容易知道為0

k是自然數

[k^(1/2)]/(k+1) < 1/(k)^(1/2) < 1/sqrt(n)

所以(1/n){ln(1+f(1))+ln(1+f(2))+...+ln(1+f(n))} < ln(1 + 1/sqrt(n))

當n取極限-> 00

上界 -> 0

所以夾擠的結果 = 1

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◆ From: 128.220.147.250
推 nobrother   :感謝你,但我真的完全照他的打耶,這是(高等微積分 )
→ nobrother   :李杰著一版三刷,第106題,我現在沒有辦法掃描,
→ nonumber    :拍張照丟上來看看
→ nobrother   :等我找到掃描機在上傳給你看,我唯一跟他不一樣的地方
→ nobrother   :我寫"ln的地方,他都是"log",我想他是印錯了
→ a88241050   :大學的書寫log大都是以e為底,也就是說跟ln是一樣的
推 nobrother   :那是我自己井底之蛙了XD
→ Honor1984   :那可能是作者沒有寫完整