Re: [微積] ∫x^5√(1+x^2) dx

[mmzznnxxbbcc (黃囧龍)]

※ 引述《mmzznnxxbbcc (黃囧龍)》之銘言：
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∫ x^5 √(1+x^2) dx  = 200√5/21 - 22√2/105
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請問是怎麼積分的 謝謝

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◆ From: 220.129.95.56
→ jimmy86204  :令X=tanY試試看
推 LPH66       :或者令 u^2 = 1+x^2 就有 2udu = 2xdx
→ a88241050   :1+x^2=t^2 , xdx=tdt, 變數變換
上面兩個推文好像一樣吧 但我做不出來
u=√(1+x^2), u^2 = 1+x^2 ,

udu = xdx , x^2 = u^2-1 , x^4 = (u^2-1)^2

∫ x^5 √(1+x^2) dx = ∫x^4 √(1+x^2) xdx = ∫(u^2-1)^2 u udu

=∫(u^4 -2u^2 +1)u^2 du =∫u^6 -2u^4 +u^2 du

=(u^7 /7) -(2u^5 /5) +(u^3 /3)

把 u=√(1+x^2) 代回 共有三項 分別有(1+x^2)的7/2次方、5/2次方、3/2次方

再用定積分的上下界代回 分別是5和2的7/2次方、5/2次方、3/2次方

這和答案的 200√5/21 - 22√2/105 似乎有段距離

唯一比較像的只有都有5和2...?

有哪裡出錯嗎?

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◆ From: 220.129.83.54
推 ccccc7784   :沒錯啊!你1/7那些係數有加嗎? 化簡就是答案了
→ mmzznnxxbbcc:我把(5)^7/2當成不能化簡的數了 應該是2^6 √5 才對