Re: [微積] 微積分簡易題目

[phs (世故人情情難還...)]

※ 引述《popdin (華佗再世)》之銘言：
: 1.  已知x^2 +y^2 +z^2 =9   且 dx       dy         dz│
:                               ─  =5   ─ =4  求  ─│                之
:                               dt       dt         dt│(x,y,z)=(2,2,1)
值
  (解)
      z =正負(9-x^2-y^2)^(1/2) 因為答案要找(x,y,z)=(2,2,1)的點,所以負不合

    =>  dz/dt = (1/2)(9-x^2-y^2)^(-1/2)[-2x(dx/dt)-2y(dy/dt)]

    => dz/dt_(x,y,z)=(2,2,1) = -18


  2. 設a>0 b>0 求證: 曲線 x^2   y^2         上過點(x0,y0) 的切線方程式為
:                         ─  + ─  =  1
:                         a^2   b^2
: x0     y0
: ─ x + ─  y  =1
: a^2    b^2

  (証)
      設切線方程式為 y-y0 = m (x-x0) 其中 m = dy/dx

      對曲線 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 微分一次

      => 2xdx/a^2 +2ydy/b^2 = 0

      => dy/dx = -(b^2/a^2)(x/y)

      => m = dy/dx_(x,y)=(x0,y0) = -(b^2/a^2)(x0/y0) 代回切線方程式

      得到 y-y0 = -(b^2/a^2)(x0/y0)(x-x0)

                = -(b^2/a^2)(x0/y0)x + (b^2/a^2)(x0^2/y0)

     兩邊同乘 y0/b^2

      =>  (y0/b^2)y - y0^2/b^2 = -(x0/a^2)x + x0^2/a^2

     又因為 (x0,y0)在曲線上, 故 x0^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1

      => (x0/a^2)x + (y0/b^2)y = x0^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1

      得證

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.101.4
※ 編輯: phs             來自: 140.112.101.4        (11/04 17:12)
※ 編輯: phs             來自: 140.112.101.4        (11/04 17:20)
推 ERT312      :負不合，已經知道 z 是 1 了
推 ERT312      :z只取正的根號那支即可，因為 z 是 1，最後答案是-18
→ ERT312      :上篇的做法比較快
※ 編輯: phs             來自: 140.112.101.4        (11/04 17:31)
→ phs         :樓上 謝啦!
推 ERT312      :XD