推 znmkhxrw :看懂了~謝謝 11/08 19:32
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 知道說如果唯一性定理成立的話
: x1(t)與x2(t)是 x'=f(t,x) 的兩個解，定義在一樣的interval I
: 如果x1(T) = x2(T) for some T€I
: 則就可推論 x1=x2 on I
: 我想問如果今天是：x1(T) = x2(T') for some T,T'€I
: 能推論x1=x2嗎？(也就是說 兩解在不同時間有相同值的話 是否得到x1=x2)
你都已經說 x1(T) = x2(T') 了，想要 x1(t) = x2(t) 不是很怪嗎？
我想你要的是 x1(t) = x2(t - (T'- T) ) 吧？
就是 x1 和 x2 平移後可以重合。
: 今天如果 x：I → R 的話 馬上就有反例
: 可是回想ODE課程時，x：I→R^2的case中
: 例如 x'=Ax , A is a 2x2 real matrix
: 即便是在不同時間 也不可能有相同的值
: 也就是說 在R^n , n>=2的Case下, 是否真能證出如果兩解不一樣的話
: 在"任意不同"時間(T與T')的值都會不一樣!?
: 謝謝
這麼想吧。因為你的ODE是
x' = f(t, x)
只要給定 x(t_0) 的值，就知道 x'(t_0) 是什麼了。
所以你也馬上知道 x(t_0 + δt) 的值。然後又知道 x'(t_0 + δt)，
然後又知道 x(t_0 + 2δt)...
重複以上動作，於是得到 x(t_0 + Δt)。
解微分方程有時叫做「積分」這個方程式，也就是這個意思。
如果 x(t) 和 y(t) 都滿足同一個ODE，而且 x(t_0) = y(t_0)，
那照上面這個積分得到解的作法，你每一步作的都是一模一樣的事，
當然只好拿到 x(t) = y(t) 這樣一模一樣的結果。
如果是 x(t_1) = y(t_2) = c，而 t_1 != t_2 這樣呢？代進ODE馬上就得到：
x'(t_1) = f(t_1, c)
y'(t_2) = f(t_2, c)
看到問題了吧？就算你平移兩個圖形，交點的斜率也不一樣。
當然，我們可以給 f 加一點點限制： f(t_1, c) = f(t_2, c)
這樣子平移後的兩個圖形在 x = y = c 的這點上連斜率也一樣了。
可是這樣還不夠，因為
f(t_1 + δt, x(t_1 + δt) ) != f(t_2 + δt, y(t_2 + δt))
兩個圖形也只在那一點相切而已，之後還是各走各的。
所以，假如你希望 x 和 y 只差在平移，你需要
f(t, d) = f(t + (t_2 - t_1) , d) for all d in R
也就是ODE本身必須要有平移 (t_2 - t_1) 後保持不變的對稱性。
換句話說，f 必須是 t 的週期函數。
就算 x 的值域不是 R 也一樣。只要 f 有週期性，就可能得到兩個只差平移的解。
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