[微積] 重積分

[nobrother (nono)]

      x            y            z
求  (──)^1/2 + (──)^1/2 + (──)^1/2 < 1 之體積
      a            b            c       =

我的作法是

令 x = au^4 , y = bv^4 , z = cw^4

|J| = 64abc(uvw)^3

再令 u = rsin(f)cos(g)
     v = rsin(f)sin(g)
     w = rcos(f)

(抱歉,因為太長,我把式子分兩行)

         2兀 兀  1
V = 64abc ∫ ∫ ∫ r^3sin^3(f)cos^3(g)*r^3sin^3(f)sin^3(g)
          0  0  0  +++^^^^^^^ -------  +++^^^^^^^ --------

                   *r^3cos^3(f)*r^2sin(f) drdfdg
                    +++^^^^^^^^ +++^^^^^^

         2兀                     兀                      1
 = 64abc( ∫sin^3(g)cos^3(g)dg )(∫ sin^7(f)cos^3(f)df )(∫r^11 dr)
          0                      0                       0


問題一:我本來是把前兩個積分式變成 Beta function, 可是發現這樣好像是錯的,

       請問有辦法用Beta做嗎?要如何修正?

問題二:我後來去用google看了sin^7(f)cos^3(f)的圖形

       發現如果從 0 積到 兀 ,會是0耶???

圖:
https://www.google.com.tw/#q=(sin(x))%5E7(cos(x))%5E3

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◆ From: 36.232.198.248
→ jimmy86204  :問題2如果是只對他(積分0~兀)(sin^7(f)cos^3(f))df
→ jimmy86204  :是0沒錯QQ
推 tml         :大概是x^(1/2)中的x不能為負,但是你的積分範圍是球吧
→ tml         :總之我用直角坐標硬算x,y,z都是正的情況的答案是1/90
→ tml         :應該說abc/90,不過abc只是縮放其實可以最後再乘進去
→ tml         :推廣到次方為n時答案會是Γ(1/n)^3/(3n^2Γ(3/n))
→ tml         :n代1/2也會得到1!/(3*(1/4)*5!)=1/90
→ nobrother   :t大你的算法跟我的解答一樣,答案是abc/90
→ nobrother   :我是想說可不可以用極座標算