推 itai :推~~~ 11/10 00:57
推 Heaviside :有神！！！！推一個 11/10 08:29
推 nobrother :推!! 11/10 12:09
: 推 ADAH33 :不好意思 第一題的分母是 -x 11/09 23:41
: → ADAH33 :此外，絕對值可以直接微分嗎@@ 11/09 23:41
回一下你這句推文
絕對值直接微分的話會在 0 跳一下:
d { 1, x > 0
-- |x| = {
dx { -1, x < 0
它在 0 的地方微分不存在 (從定義做一下就知道了, 兩個單邊極限不相等)
不過這兩題絕對值出現在對數裡 那又是另一回事了
或許你有看過這個說法:
∫1/x dx 的結果其實應該寫作 ln|x| + C
這是因為如果要套上上下限變成定積分的話
對 a,b < 0 應該是
b -b
∫ 1/x dx = ∫ 1/y dy = ln(-b) - ln(-a) (令 y = -x, 1/y = -1/x, dy = -dx)
a -a
雖然化簡之後都是 ln(b/a) 但因為 ln 的定義的關係你不能寫 ln(a) ln(b)
為了要涵蓋這種情形所以才寫成 ln|x| 的
另一個角度看, 這其實只是定義域的問題
(ln x 的定義域是 x > 0, 而 ln|x| 的定義域則是 x≠0)
反過來在微分的時候
ln x 跟 ln|x| 的微分都能寫作 1/x
只不過前者的定義域是 x > 0, 後者的定義域是 x≠0 而已
所以如果只是做題目的話其實可以不用管在對數裡的絕對值 微下去就好
如果還是覺得怪怪的話這裡可以用連鎖律做給你看:
D ln|x| = (1/|x|) D |x|
{(1/x)*1, if x > 0
= { = 1/x, if x≠0
{(1/(-x))*(-1), if x < 0
既然都是 1/x 那就不用再費事把兩個函數拆開, 直接一起微掉就好
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這也是為什麼三角積分公式裡
∫tan x dx = ln|sec x| + C
∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
這兩條要加上絕對值的關係
因為三角函數的值都是可正可負的
如果不限定只在第一象限角的話就得要加上絕對值了
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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話
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