[微積] 極限

[nobrother (nono)]

Let f(x) be differentiable for x > 0 .

Prove or disprove

if  lim f(x) = 0 , then lim f'(x) = 0
   x->∞               x->∞


我的作法是

根據均值定理

f(x+1)-f(x)
－－－－－  = f'(c) , c 屬於 (x,x+1)
  x+1-x

所以

 lim f(x+1)-f(x) = 0 = f'(c)
x->∞

因為x和x+1趨近無限大,所以c也趨近無限大

所以 lim f'(x) = 0
    x->∞

但解答說是錯的
                   sin(x^2)
並舉了反例.f(x) = －－－－－
                      x

我知道這個例子可以說明此題是錯的

但請問我的證明出了甚麼錯???

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◆ From: 111.253.6.241
推 suhorng     :你作反了 均值定理給的是對每個x, 都存在一個c
→ suhorng     :但 lim f'(t) 卻是要求對每個 t (> N)
→ nobrother   :你的意思是題目要的x可能是一億.一億零一.一億零二..
→ nobrother   :均值定理的意思是只有某個值,例如對一億零一成立,但
→ nobrother   :對其他的數就不一定成立,請問我這樣理解對嗎?