推 nobrother :感謝!!!這時候應該有個讚來按一下的 11/11 21:45
※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: Let f(x) be differentiable for x > 0 .
: Prove or disprove
: if lim f(x) = 0 , then lim f'(x) = 0
: x->∞ x->∞
: 我的作法是
: 根據均值定理
: f(x+1)-f(x)
: －－－－－ = f'(c) , c 屬於 (x,x+1)
: x+1-x
到這裡都沒錯 而且注意均值定理的敘述是什麼(所以我們得到了什麼):
"對每個 x, 都存在一個 x < c < x+1, 使得左式 = f'(c)"
更詳細的說, 這個敘述中我們僅僅知道存在這樣一個 c, 且 c = c(x) 是 x 的函數
(也許某些特例中 c 會與 x 無關, 但這我們無從得知.)
: 所以
: lim f(x+1)-f(x) = 0 = f'(c)
: x->∞
: 因為x和x+1趨近無限大,所以c也趨近無限大
也許右邊寫成 lim f'(c(x)) 會比較好. 至少 lim 絕對不可漏掉.
x->∞
: 所以 lim f'(x) = 0
: x->∞
從上面那行, 要推到這行是有困難的
lim f(t) = L 指對所有 e > 0, 存在 M > 0 使得 "t>M => |f(t)-L|<e"
t->∞
這跟 lim f'(c(x)) = 0
x->∞
意思不同.
(恕刪)
: 但請問我的證明出了甚麼錯???
: 推 suhorng :你作反了 均值定理給的是對每個x, 都存在一個c
: → suhorng :但 lim f'(t) 卻是要求對每個 t (> N)
: → nobrother :你的意思是題目要的x可能是一億.一億零一.一億零二..
: → nobrother :均值定理的意思是只有某個值,例如對一億零一成立,但
: → nobrother :對其他的數就不一定成立,請問我這樣理解對嗎?
所以我的意思不是這樣. 從任何一個 x 出發我們都可以得到 c, 而且 x 趨近無窮大時
c 也會越來越大(> x !). 但是這樣跟 "c趨近無窮大" 這句話不一樣
在很多用均值定理的證明中, 要小心注意細節.
非常非常多的證明都是已知 lim f'(t) 如何如何.
t->∞
這時候, 因為當 x->∞ 時 c 也會跑到無窮大,
結合 lim f'(t) 的前提(條件)我們就能推知 lim [f(x+1) - f(x)] 如何如何.
t->∞ x->∞
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※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.50.70 (11/11 21:43)