[微積] 可微分性

[nobrother (nono)]

各位高手大家好

我對於"可微分性"的定義一直搞不太清楚

我在看的書是有寫

多變數函數之可微分定義:

          n    m                    n     m
設f:D R⊆R —>R  的函數且若存在一從R 映至R 的線性函數

Df(x_0) , 其中x_0∈D滿足

          ||f(x_0+Δx)-f(x_0)-Df(x_0)Δx||
  lim  = ---------------------------------- = 0
Δx->0                 ||Δx||

,則稱函數f在點x_0∈D是可微分

所以是每次遇到題目都要用這個定義做嗎?

還有他這裡說的是在點x_0,那如果只是問可不可微呢?

像是

f(x) ={ (x^2)sin(1/x) , x ≠ 0
      {
      {  0 , x = 0


或是
   2    2
f:R —>R 定義為
                                             2
f(x,y) = (φ(x,y),Ψ(x,y)) , for all (x,y)∈R

其中φ(x,y)=x^2y^3 且 Ψ(x,y)=x*exp(y^2) ,
                2
for all (x,y)∈R 是否為可微分函數


只要告訴我一點概念或方向就好

謝謝!!!



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.253.26.26
推 jacky7987   :有個定理告訴你 如果他偏導數存在連續 那就可微
→ jacky7987   :這是個方法 不過不是每次都管用
→ ex951753    :http://imgur.com/pThubXB
→ ex951753    :最後同理 整個分子取norm 則可改寫為 =0 in R^1
→ nobrother   :太感謝了  我現在來研究研究
推 yuyumagic424:一樓的意思是說 有時候有一些充分條件可以使用
→ yuyumagic424:但因為只是充份條件 所以不是每次都派得上用場
→ nobrother   :那可以請問一下是甚麼情況可以使用嗎
推 yuyumagic424:呃...符合條件的情況.....
→ nobrother   :哈哈  還是謝啦  我自己再想想
推 jacky7987   :不好意思 我的意思是說 如果你運氣好 發現他全部的
→ jacky7987   :偏導數都存在 那麼他就一定可微 可是如果你發現有偏
→ jacky7987   :導數不是連續 也不能下結論說該函數是不可微分的
→ jacky7987   :這時候就要再回頭從定義下手看看
→ jacky7987   :(第2行的偏導數存在還要連續 也就是俗稱的C^1函數
→ jacky7987   :也就是{連續函數}ㄈ{可微函數}ㄈ{C^1函數}
→ jacky7987   :反了==
→ jacky7987   :舉你的例子來說 在x不是0的時候 x^2sin(1/x)是好的
→ jacky7987   :可以無窮多次可微分 但是f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
→ jacky7987   :在0是不連續的 可是他仍然依照微分的定義是可以微分
→ jacky7987   :且微分值為0(也就是你的線性轉換是0
→ jacky7987   :第二個例子 你會發現那些偏導數都存在且連續 所以可
→ jacky7987   :微分 這時候的線性轉換剛好是f的jacobian
→ nobrother   :謝謝!!!!!!!
→ nobrother   :請問,在第一個例子裡,f'(x)在0是不連續的,所以在0是
→ nobrother   :不可微分嗎?
推 yw1002      :這還只是實變數...到了複變數更頭痛！
推 jacky7987   :還好拉 複變只要可微就無窮可微 算是蠻好的XD
→ sckm160913  :前提是只要可微XDD
推 yw1002      :微分好像是一種降維度的過程：球體積微了變表面積
→ yw1002      :表面積微了變周長，頂多差個常數
→ yw1002      :複變的holomorphic function似乎就是因為有個
→ yw1002      :fixed point(實數軸原點)．．．然後作微分只是在
→ yw1002      :上面作投影
→ yw1002      :從複變的L^p就延伸到可積性
→ yw1002      :我想最關鍵是在系統座標變換時那個invariant如果
→ yw1002      :設定在inner product.....那內積本來就旋轉不變
→ yw1002      :兩體(two body problem)--quadratic form
→ yw1002      :內積不可能會變．．．至於三體以上無解析解就是因為
→ yw1002      :exterior product已經沒有不變量了
→ sneak       : 這時候就要再回頭從定義 http://yofuk.com
→ muxiv       : 不好意思 我的意思是說 https://muxiv.com