[機統] 廠商 跟 訂單

[physmd (smd)]

底下這個問題我自己的解法跟課本最後附的參考答案不同。
想請教版友的意見，先謝啦。



有 n = 7 種不同的訂單，要發包給 M = 10 個不同的廠商，每個廠商可接訂單不限。

假設隨機分配，總共有 M^n = 10^7 種可能。


如果以七個位置當作訂單，數字1~10表示廠商，那就可以表示成譬如說 6368594
第六家廠商接到第一種以及第三種訂單、
第三家廠商接到第二種訂單、
第八家廠商接到第四種訂單 etc




求以下事件的機率：

第一家廠商收到兩件訂單  且  第二家廠商收到三件訂單.



這是出自白皮（帶綠色黑色）的課本
Mathematical Statistics with Applications, 6th Ed （已經是好久以前的了）
by Dennis Wackerly (Univ. Florida), William Mendenhall, and Richard Scheaffer

pp.49, exercise 2.53-(b)




我的解法是這樣：

除了第一、二家廠商收到 5 份訂單之外，剩下得兩份訂單是剩餘的 8 家廠商分。

8 ^ 2 = 64 ，其中 56 種是最後的這兩份訂單落在不同廠商，這些每一種都跟 11222 「直線排列」

7! / [ 2! 3! 1! 1!] = 7*6*5*4 / 2 = 420


64 - 56 = 8 還有 8 種是是最後的這兩份訂單落在同一家廠商，這些每一種都跟 11222 「直線排列」

7! / [ 2! 3! 2!]  = 210



所以答案是   420 * 56   +  210 * 8 = 25200

probability = 25200 / 10^7 = 0.00252






我認為把那 8^2 = 64 種拆開來是必要的，但是課本最後附的答案是 0.00134

顯然是把全部 64 種一起去跟 11222 直線排列 7! / [ 2! 3! 2!]

210 * 64 / 10^7 = 0.001344


我認為這樣相當於把最後兩份訂單視作落在同一家廠商(而總共有64家可以選)，是錯的。

換一種說法，即這種算法把 e.g. 1122234  跟 1122243 視作同一種，在直線排列的

 7! / [ 2! 3! 2!]  最後一個 2! 把它除掉了，所以少算。


我自己的解法如前所述用到 7! / [ 2! 3! 1! 1!] 才是正確的。



不知各位覺得如何？ 謝謝



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◆ From: 108.234.169.107
→ wayn2008    :C(7,2)C(5,3)*8^2 /10^7 為啥要搞這麼複雜??
→ wayn2008    :56種這邊 這兩間廠商沒有分別 所以當相同物再除2!
→ wayn2008    :但我覺得這樣太容易搞混 倒不如用高中方法算還較快
→ wayn2008    :我指的是在分7個物品時要除2!...


謝啦

我一開始也是就想說簡單 C(7,2)C(5,3)*8^2

可是注意到前面 C(7,2)C(5,3) 型式上相當於 7 個物品分成三組 (2, 3, 2)

所以開始考慮到「最後兩份訂單」到底能不能視為一組（兩份訂單沒有分別）的問題。


我感覺上兩份訂單怎麼能說沒有分別呢？如果是分給不同的廠商（那56種之一）的話....
所以開始「搞得比較複雜」。



我現在知道是怎麼回事了。

C(7,2)C(5,3)*8^2 這個算法的確是無誤的（邏輯上也清晰），但是如過要看成是

7 個物品直線排列的話，在解讀上卻並不能說是「最後兩份訂單沒有分別」。


一定要說的話，那個  7! / [ 2! 3! 2!] 最後除以第二個 2! 的原因是在於 8^2
的部分就有照顧到「最後兩份訂單是不同的」這件事。

不過基本上就像你說的，還是應該就簡單回歸到 C(7,2) * C(5,3) * 8^2 這個
操作程序上的算法。


我硬要看成直線排列的話也不是不行，但是要能搞清楚 56 種那部分會重複計算，
所以要除 2! （但不是因為兩分訂單分給兩間廠商是沒有分別的）。

我之前就是最後這裡搞錯了。



嗯好久沒有玩排列組合，果然直覺不能跟高中的時候比阿 :P


※ 編輯: physmd          來自: 108.234.169.107      (11/19 21:08)
→ wayn2008    :恩恩 要看成直線排列也可但就會比較複雜 在教學上
→ wayn2008    :學生就會比較難懂(我剛剛也想很久..) 除非真的非不得
→ wayn2008    :已 不然我比較不會用這樣算法 搞得太雜又容易搞混
→ wayn2008    :不過也有它的好處 搞懂觀念就比較清晰了
→ yhliu       :其實只是 "多項分布" 的例子...假設每份訂單落在第i
→ yhliu       :家廠商手中的機率是 p_i, i=1,...,k. 而每份訂單落在
→ yhliu       :哪一家廠商是相互獨立的, 不因該廠商已有其他訂單而
→ yhliu       :有所增減, 則各家擁有訂單數 n_1,...,n_k 的機率是
→ yhliu       :M(n;n_1,...,n_k)(p_1^n_1)...(p_k^n_k), 其中
→ yhliu       :M(n;a,b,c...) 是 n 物中 a 件相同, b 件相同... 等
→ yhliu       :之排列數. 這是二項分布的延伸.
→ sneak       : M(n;n_1,... https://daxiv.com
→ muxiv       : 56種這邊 這兩間廠商 https://moxox.com