Re: [微積] 斂散性

[yueayase (scrya)]

※ 引述《jimmy86204 (小廖)》之銘言：
:                                 ∞
: Prove or disprove that series   Σ exp(-n^€)  for all €>0
: is convergent                   n=1
: 我算是發散  可是我用的方法好像不太好
: 令An=exp(-n^€)  for all €>0
: take €=1/n
: lim  An = 1/e =\= 0   所以該級數發散
: n>00
: 問題在於1.€不能取一個不定值(題目沒說 但是他應該是一個固定常數)
:           但我想表達的只是當我選取一個很小的€時  An是不會趨近於0的
:           不知道這方法可不可以
:         2.很多人都算收斂  講義附的答案是用積分審斂法  但他得到最後的答案是
:           1/€ 這樣€趨近於0時 此積分值不就也變無限大 也變成發散
:           (p.s 這本講義答案錯誤有點多 所以我只參考 又想不通 所以來問大家)
: 問過同學跟助教都無法得到很確切的答案..這是去年中央的考古題
: 有人可以幫忙解答嗎QQ


應該可以看成無窮等比級數


a = exp(-€), € > 0


∞              ∞           n   ∞  n      a       exp(-n^€)
Σexp(-n^€)  = Σ [exp(-€)]  = Σ a  = ------- = -------------
n=1             n=1              n=1      1 - a    1-exp(-n^€)

(€ > 0 => a = exp(-€) < 1)


所以收斂

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.231.68.81
→ keith291    :e^(-n^€) ≠ (e^(-€))^n = e^(-€n)
→ yueayase    :看錯了...
不過後來發現若 € > 1

n^€ > n€

=> €ln n > ln n + ln €

=> ln n > ln € / (€-1)

         1/(€-1)
=> n > €

          1/(€-1)
則若n > €           => exp(-n^€) < exp(-n€)

       1/(€-1)
k = [€        ], [x] is the smallest integer greater than and equal to x

   ∞             ∞                 exp(-k€)
=> Σexp(-n^€) < Σ exp(-n€) = -----------------
   n=k            n=k               1 - exp(-€)

=> Σexp(-n^€) 收斂 if € > 1

不過我還沒想出 0 < € < 1 時, 有沒有可用初微就解出來的方法

※ 編輯: yueayase        來自: 61.231.68.81         (11/21 02:26)
→ Eliphalet   :ratio test?