[微積] x加x次以後的微分

[mrporing (波利先生)]

有個問題是這樣的:
2+2 = 2^2
3+3+3 = 3^2
4+4+4+4 = 4^2
.
.
.
x+x+...+x = x^2 (加了x次)

現在左右兩邊各自作導函數
等號左邊是1+1+...+1=x (1連加x次)、右邊是2x，但左右兩邊並不相等，請解釋。
------------------------------------------------------------------------

我的解釋是這樣的，設x的整數部分叫h(x)、小數部分叫g(x)，
所以x^2 = xh(x)+xg(x)
等號右邊作導函數為h+xh'+g+xg' = (h+g) + x(h'+g') = x + x =2x，與等號左邊
取導函數的答案相同。

------------------------------------------------------------------------

也不知道這樣想有沒有問題，但我更希望以線代的向量空間去解釋，這樣能解釋成
因為變數x雖然連加了x次，每一項都是在同一個維度，這樣做會違反線性組合的微
分原則，所以同一維度的變數該先做完合併項以後才能做微分。

這樣想法有什麼問題嗎??

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.117.211.215
推 jass970991  :x不連續吧
推 Yogaga      :尚未微分前等式成立的條件是x要正整數
推 Yogaga      :所以定義域已被限定成函數不可微分了
→ mrporing    :喔喔，等式成立的話就會是離散點，微分不能做
→ mp19990920  :左邊的1有x個，所以等號兩邊成立啊
→ mp19990920  :sorry 我眼瞎請忽略我y
推 jacky840816 :2F的解釋我看不懂耶  有人可以幫忙講一下嗎??THX
→ jacky840816 :微分不是只有 不能分母為零或根號內為負嗎?
→ jacky840816 :所以是只要定義域裡面是函數就不能微分嗎?
推 profyang    :x+x+...x=x^x  =>x加"x"次=x^2 那個"x"次的x是正整數
推 jacky840816 :X次是正整數  為什麼就不能微?
→ wohtp       :微分是「改變x的值一點點造成的變化」
→ wohtp       :x如果是整數你要怎麼「改變一點點」？
推 profyang    :阿就連定義域都不連續了你是要微啥= ="
推 sckm160913  :極限的定義、連續的定義→微分的定義
推 StellaNe    :我想不是不連續的問題
→ StellaNe    :等號可以推廣到有理數如2.5^2=2.5+2.5+2.5*0.5
→ StellaNe    :再推至無理數 但牽涉到小數部分就能用第一個方法解釋
推 znmkhxrw    :你的函數就只是f(x)=x[x], []是高斯記號
→ znmkhxrw    :這樣可以推廣到所有非負實數 也涵蓋你的case
→ mrporing    :StellaNe: 我第一個就是想如果x是在有理數域的情況
→ mrporing    :要怎麼推往無理數就還沒想到，畢竟無理數的小數部分
→ mrporing    :我沒辦法假設一個函數去表示它
推 mgtsai      :有理數推廣到實數，會用到實數完備性公理
→ mgtsai      :技術上可以使用 Cauchy sequence 處理
→ suker       :X整數 對整數微分2邊都是0  所以x^2 的微分不為2x
推 doom8199    :這跟 f(n) = sigma{g(i), i = 1~n} 類似
推 itai        :樓上，不能微跟微出來是0是兩回事喔
→ doom8199    :若 n extend 到 real, f'(n) 如何用 g(i) 表示
→ doom8199    :to itai: 我在講的是, 例如 n! 對 n 微分當然沒意義
→ doom8199    :但是若跳脫思考的侷限，將 n! 用 gamma function
→ doom8199    :來定義，那 所謂的 (n!)'(0), 可以用 gamma 來定義
推 itai        :我是說s大啦不好意思> <
推 gj942l41l4  :因為你加的次數也是x的函數
→ gj942l41l4  :你對x做變化時左式不能只考慮x的影   還有+的影響
推 usttsu      :x是偶數, x+x+...+x=x^2 -(1式 x連加x次)
→ usttsu      :忽視我的推文
→ sneak       : 微分不是只有 不能分母 http://yofuk.com
→ muxiv       : 因為你加的次數也是x的 http://yofuk.com