Re: [微積] 斂散性

[amozartea (單車單)]

應該可以看成無窮等比級數


a = exp(-€), € > 0


∞              ∞           n   ∞  n      a       exp(-n^€)
Σexp(-n^€)  = Σ [exp(-€)]  = Σ a  = ------- = -------------
n=1             n=1              n=1      1 - a    1-exp(-n^€)

(€ > 0 => a = exp(-€) < 1)


所以收斂

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◆ From: 61.231.68.81
→ keith291    :e^(-n^€) ≠ (e^(-€))^n = e^(-€n)
→ yueayase    :看錯了...
不過後來發現若 € > 1

n^€ > n€

=> €ln n > ln n + ln €

=> ln n > ln € / (€-1)

         1/(€-1)
=> n > €

          1/(€-1)
則若n > €           => exp(-n^€) < exp(-n€)

       1/(€-1)
k = [€        ], [x] is the smallest integer greater than and equal to x

   ∞             ∞                 exp(-k€)
=> Σexp(-n^€) < Σ exp(-n€) = -----------------
   n=k            n=k               1 - exp(-€)

=> Σexp(-n^€) 收斂 if € > 1

不過我還沒想出 0 < € < 1 時, 有沒有可用初微就解出來的方法

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硬要用積分審歛可解  只是比較麻煩

考慮積分 Int (1,Infinity) exp(-x^c)dx

令c = 1/k

令 x^c = y

則y^k = x

dx = k y^(k-1) dy

因此可變為積分

k Int (1, Infinity) y^(k-1) exp(-y)dy

一直分部積分 可以看出這個積分收斂  c大於0都沒問題
(就會變出gamma function...)

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◆ From: 118.168.110.232