[中學] 雙周一題

[vata (va)]

設三角形的邊長為a,b,c  證明 a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) >= 0


假設考慮一個函數 f(x) = x^2b(x-b)+b^2c(b-c)+c^2x(c-x) 其中 x>=b, b>=c

因為 f(b) >=0 且 f'(x) >=0 在 x>=b

故得證


請問這樣的證明方式有錯嗎?

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◆ From: 1.165.112.172
推 justinj     :有一個問題...為什麼f'(x)>=0
推 itai        :利用f'(x)>=3bx^2-4b^2x-b^3>=0（b>=c下）
→ itai        :我看不出來有任何問題XD
→ itai        :就一開始要加WLOG
→ keith291    :此式不對稱  b < c 要考慮
推 s60984      :a^2b, b^2c, c^2a應該沒問題
→ keith291    :甚至a也不見得>b  你要把所有a,b,c大小排序都討論完
→ keith291    :你這只討論了a≧b≧c
→ s60984      :a-b,b-c,c-a就會有問題
推 itai        :所以要加「不失一般性的情況下」啊
→ itai        :還有此題很對稱
→ CaptainH    :a,b互換後與原式不相等, 哪有對稱..
推 itai        :喔對吼，sorry
→ itai        :就兩種順序大小，另一種可能要設g(x)吧
→ itai        :剛剛想想不一定做的到orz
→ keith291    :a,b,c大小順序有3!種  不只2種要討論
推 itai        :但可以變成2大類啊
→ keith291    :只粗略分b≧c 和 b<c  討論遞增減時一樣需要再切區間
→ keith291    :不然沒結果的,另外f'(x)≧0 for x≧b≧c 並不顯然
推 itai        :樓上說的對，我第二行寫錯了orz
→ vata        :我了解了，謝謝各位大大的解惑
推 AntiForm    :好像能用算幾證耶...
→ sneak       : 還有此題很對稱 https://daxiv.com
→ muxiv       : 剛剛想想不一定做的到o https://moxox.com